Одноканальная СМО с отказами

Пусть в систему с одним каналом (n = 1) поступает пуассоновский поток с интенсивностью λ (в общем случае λ является функцией времени, т. е. λ = λ (t)). Заявка, заставшая канал занятым, получает отказ и покидает систему (рис. 7.22). Обслуживание в системе происходит в течение времени Тоб – это случайная величина, распределенная по показательному закону:

. (7.20)
Требуется найти:

  • А – абсолютную пропускную способность СМО;
  • Q – относительную пропускную способность СМО.

Рис. 7.22
Рассмотрим единственный канал обслуживания как физическую систему S, которая может находиться в двух состояниях:
S0 – канал свободен;
S1 – канал занят.
Поскольку события S0 и S1 образуют полную группу несовместных событий, то справедлива будет запись

Р0(t) + P1(t) = 1. (7.21)
Уравнения Колмогорова для данной системы массового обслуживания будут иметь вид

(7.22)
Из уравнения (7.21) выразим вероятность события, состоящего в том, что канал занят, в результате получим

Р1 = 1 – Р0. (7.23)
Подставим полученное выражение для Р1 в первое уравнение системы (7.22), тогда получается выражение вида

.
Приведем подобные слагаемые для вероятности Р0:

.
Тогда систему уравнений (7.22) можно записать в следующем виде:

(7.24)
Начальными условиями будут:
Р0(0) = 1, т. е. в начальный момент времени на входе СМО стоит заявка;
Р1(0) = 0, при этом в начальный момент времени система свободна, следовательно, отказа не произойдет.
Проинтегрируем первое уравнение системы (7.24):

.
Используя выражение (7.23), можно получить выражение для вычисления вероятности P1, т. е. вероятности того, что система занята. График поведения системы во времени показан на рис. 7.23.

Рис. 7.23


После окончания переходного процесса при t вероятность Р0 будет вычисляться следующим образом: при t→.
Очевидно, что для одноканальной системы с отказами вероятность Р0 и есть относительная пропускная способность, которая рассчитывается таким образом:

Q = . (7.25)
Зная Q, можно найти абсолютную пропускную способность А как произведение относительной пропускной способности Q на интенсивность поступления заявок λ, т. е.

А = λ Q.
Подставим вместо Q выражение (7.25), следовательно,

А = .
Вероятность отказа есть не что иное, как средняя доля необслуженных заявок.

Ротк = 1 – Q,
при t, Ротк = 1 – .
Пример. Пусть имеется телефонная линия, в которой интенсивность поступления заявок λ равна 0,8 вызовов/мин, время обслуживания одного разговора (заявки) tоб равно 1,5 мин. Требуется определить характеристики эффективности данной СМО.
Решение. Поскольку телефонная линия одна, система массового обслуживания относится к одноканальным СМО. Если очередная заявка, пришедшая в систему, находит систему занятой, то она получает отказ и покидает систему, следовательно, данная система является одноканальной СМО с отказами. Для данного вида СМО можно вычислить следующие характеристики:

  • абсолютную пропускную способность А;
  • относительную пропускную способность Q;
  • вероятность того, что поступившая в систему заявка получит отказ Ротк.
    В первую очередь необходимо найти интенсивность обслуживания заявок в СМО Для этого разделим единицу на время обслуживания одной заявки tоб

    .
    Зная интенсивность поступления заявок в СМО λ и интенсивность обслуживания заявок в данной СМО , найдем относительную пропускную способность Q:

    .
    Это значит, что в установившемся режиме система будет обслуживать 45,5 % проходящих заявок.
    Теперь вычислим абсолютную пропускную способность СМО:

    .
    Т. е. линия способна обслуживать в среднем 0,364 разговора в минуту.
    Найдем вероятность отказа: единица минус относительная пропускная способность системы:

    Ротк = 1 – Q = 0,545.
    Вероятность того, что заявка, пришедшая в систему, найдет ее занятой, равна 54,5 %.
    Кроме перечисленных выше характеристик можно также вычислить номинальную пропускную способность:

    .
    Она равна 0,667 разговора в минуту, что в два раза превышает фактическую пропускную способность, полученную для случайного процесса.

  • загрузка...