Одноканальная СМО с ожиданием без ограничения на вместимость блока ожидания

Стационарный режим функционирования данной СМО существует при t ®¥ для любого п =0,1,2,…и когда l < m.Система алгебраических уравнений, описывающих работу СМО при t®¥ для любого n = 0, 1, 2...., имеет вид

Решение данной системы уравнений имеет вид

Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди, следующие:
среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание:

средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

Пример 3.3. Вспомним о ситуации, рассмотренной в пример 3.2, где речь идет о функционировании поста диагностики. Пусть рассматриваемый пост диагностики располагает неограниченны» количеством площадок для стоянки прибывающих на обслуживание автомобилей, т. е. длина очереди не ограничена.
Требуется определить финальные значения следующих вероятностных характеристик:
• вероятности состояний системы (поста диагностики);
• среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди);
• среднюю продолжительность пребывания автомобиля в системе (на обслуживании и в очереди);
• среднее число автомобилей в очереди на обслуживании;
• среднюю продолжительность пребывания автомобиля в очереди.

Решение
1. Параметр потока обслуживания m и приведенная интенсивность потока автомобилей р определены в примере 3.2:
m = 0,952; p = 0,893.
2. Вычислим предельные вероятности системы по формулам


Следует отметить, что Ро определяет долю времени, в течение которого пост диагностики вынужденно бездействует (простаивает). В нашем примере она составляет 10,7%, так как Ро= 0,107.
3. Среднее число автомобилей, находящихся в системе (на обслуживании и в очереди):
4. Средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

6. Средняя продолжительность пребывания автомобиля в очереди-

7. Относительная пропускная способность системы:
q=1,

т. е. каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена.
8. Абсолютная пропускная способность:
А= lq= 0,85 • 1 = 0,85.

Следует отметить, что предприятие, осуществляющее диагностику автомобилей, прежде всего интересует количество клиентов, которое посетит пост диагностики при снятии ограничения на длину очереди.
Допустим, в первоначальном варианте количество мест для стоянки прибывающих автомобилей было равно трем (см. пример 3.2). Частота m возникновения ситуаций, когда прибывающий на пост диагностики автомобиль не имеет возможности присоединиться к очереди:
т= l PN

В нашем примере при N = 3 + 1 = 4 и р = 0,893,
m = l Рор4 = 0,85 • 0,248 • 0,8934 • 0,134 автомобиля в час.
При 12-часовом режиме работы поста диагностики это эквивалентно тому, что пост диагностики в среднем за смену (день) будет терять 12 • 0,134 = 1,6 автомобиля.
Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить количество обслуженных клиентов в нашем примере в среднем на 1,6 автомобиля за смену (12 ч. работы) поста диагностики. Ясно, что решение относительно расширения площади для стоянки автомобилей, прибывающих на пост диагностики, должно основываться на оценке экономического ущерба, который обусловлен потерей клиентов при наличии всего трех мест для стоянки этих автомобилей.
загрузка...