Корреляционный анализ. Пример решения
Уравнение парной регрессии.
На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε
Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).
Система нормальных уравнений.
a•n + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x2 = ∑y•x
Для наших данных система уравнений имеет вид
15a + 272431 b = 252483.1
272431 a + 7857387629 b  = 3842609758.49
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:
Получаем b = -0.26, a = 21470.33
Уравнение регрессии:
y = -0.26 x + 21470.33
1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

1.1. Коэффициент корреляции
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = -0.26 x  + 21470.33
1.3. Коэффициент эластичности.
Коэффициент эластичности находится по формуле:

1.4. Ошибка аппроксимации.

1.5. Индекс корреляции (эмпирическое корреляционное отношение).

где
Sy0 = 51943589582.12 + 51753845321 = 103697434903.12
Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

1.6. Коэффициент детерминации.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R2= -0.062 = 0.0037

x	y	x 2	y 2	x • y	y(x)	(yi-ycp) 2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y	
38018	239.87	1445368324	57538.1	9119415.68	11761.52	275305607.3	132748310.21	394258088.54	48.03	
4805	1791.38	23088025	3209038.72	8607576.1	20243.26	226226500.91	340471738.18	178411229.94	10.3	
9075	1840.64	82355625	3387966.65	16703835.22	19152.81	224746985.17	299711056.95	82574780.6	9.41	
55439	0	3073482721	0	0	7312.64	283323185.76	53474771.3	1389569758.74	0	
14714	141.17	216501796	19928.69	2077160.67	17712.75	278590742.84	308760586	11889163.74	124.47	
9209	2532.7	84805681	6414559.16	23323615.88	19118.59	204475951.92	275091742.9	80157402.74	6.55	
10192	1958.96	103876864	3837512.53	19965689.74	18867.56	221213559.61	285900691.83	63521962.67	8.63	
24385	461.4	594628225	212890.88	11251263.38	15243.03	268003282.54	218496585.08	38724899.27	32.04	
15569	236987.25	242393761	56162958558.46	3689654557.53	17494.41	48468244807.63	48177109099.07	6723994.74	0.93	
8502	2977.2	72284004	8863701.98	25312128.89	19299.14	191961296.56	266405736.5	93316888	5.48	
25713	0	661158369	0	0	14903.89	283323185.76	222126062.99	57016594.2	0	
30255	0	915365025	0	0	13743.99	283323185.76	188897129.08	146239036.6	0	
16223	1596.78	263185729	2549709.56	25904578.16	17327.39	232118199.31	247452189.97	3759979.54	9.85	
8738	1059.98	76352644	1123549.12	9262070.29	19238.87	248763264.41	330472152.91	88813032.54	17.15	
1594	895.78	2540836	802414.64	1427866.94	21063.26	253969826.64	406727468.03	274500833.07	22.51	
272431	252483.1	7857387629	56193437368.49	3842609758.49	252483.1	51943589582.12	51753845321	2909477644.93	295.35	

2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.1. Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=13 находим tкрит:
tкрит (n-m-1;α/2) = (13;0.025) = 2.16
где m = 1 - количество объясняющих переменных.
2.2. Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

r(-0.6161;0.4952)
2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S2y = 3981065024.69 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

Sy = 63095.68 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
Sa - стандартное отклонение случайной величины a.

Sb - стандартное отклонение случайной величины b.

2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
(a + bxp ± ε)
где

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и Xp = 19978

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.
(a + bxi ± ε)
где

2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
tкрит (n-m-1;α/2) = (13;0.025) = 2.16

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
(b - tкрит Sb; b + tкрит Sb)
(a - tкрит Sa; a + tкрит Sa)
2) F-статистика. Критерий Фишера.

где m – число факторов в модели.

где m=1 для парной регрессии.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=13, Fтабл = 4.67

Все вычисления и комментарии к полученным результатам доступны в расширенном режиме. Также приводится проверка на наличие автокорреляции и гетероскедастичности.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Уравнение парной линейной регрессии
Вместе с этой задачей решают также:
Уравнение множественной регрессии
Выявление тренда методом аналитического выравнивания
Показатели вариации
Показатели динамики