Корреляционный анализ. Пример решения
Уравнение парной регрессии.
На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит логарифмическый характер.
Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln(x) + a + ε
Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).
Система нормальных уравнений.
a•n + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x2 = ∑y•x
Для наших данных система уравнений имеет вид
12a + 43.04 b = 2735
43.04 a + 154.41 b  = 9795.82
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:
Получаем b = -404.56, a = 1678.96
Уравнение регрессии:
y = -404.56 ln(x) + 1678.96
1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

1.1. Коэффициент корреляции
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = -404.56 ln(x) + 1678.96
1.3. Коэффициент эластичности.
Коэффициент эластичности находится по формуле:

1.4. Ошибка аппроксимации.

1.5. Индекс корреляции (эмпирическое корреляционное отношение).

где
Sy0 = 1306538.92 + 1300949.72 = 2607488.63
Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

1.6. Коэффициент детерминации.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R2= -0.072 = 0.0043

ln(x)	y	x 2	y 2	x • y	y(x)	(yi-ycp) 2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y	
3.56	142	12.64	20164	504.86	240.6	7381.67	9722.42	0.000983	0.69	
3.57	130	12.74	16900	464.04	234.86	9587.67	10996.41	0.000295	0.81	
3.53	145	12.44	21025	511.32	252.33	6875.17	11519.63	0.003641	0.74	
3.58	1321	12.84	1745041	4733.83	229.21	1194831.17	1192015.23	1E-05	0.83	
3.57	134	12.74	17956	478.32	234.86	8820.34	10173.5	0.000295	0.75	
3.61	127	13.04	16129	458.59	218.12	10184.17	8303.03	0.000586	0.72	
3.51	153	12.33	23409	537.27	258.32	5612.51	11092.97	0.005649	0.69	
3.53	140	12.44	19600	493.69	252.33	7729.34	12617.93	0.003641	0.8	
3.6	127	12.94	16129	456.86	223.63	10184.17	9336.44	0.000113	0.76	
3.69	93	13.61	8649	343.07	186.58	18202.51	8757.36	0.0104	1.01	
3.66	108	13.42	11664	395.66	196.82	14380.01	7889.59	0.005907	0.82	
3.64	115	13.23	13225	418.32	207.33	12750.17	8525.2	0.002589	0.8	
43.04	2735	154.41	1929891	9795.82	2735	1306538.92	1300949.72	0.0341	9.42	

2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.1. Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=10 находим tкрит:
tкрит (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228
где m = 1 - количество объясняющих переменных.
2.2. Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

r(-0.7058;0.575)
2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S2y = 130094.97 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

Sy = 360.69 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
Sa - стандартное отклонение случайной величины a.

Sb - стандартное отклонение случайной величины b.

2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
(a + bxp ± ε)
где

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и Xp = 4

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.
(a + bxi ± ε)
где

2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
tкрит (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
(b - tкрит Sb; b + tкрит Sb)
(a - tкрит Sa; a + tкрит Sa)
2) F-статистика. Критерий Фишера.

где m – число факторов в модели.

где m=1 для парной регрессии.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=10, Fтабл = 4.96

Все вычисления и комментарии к полученным результатам доступны в расширенном режиме. Также приводится проверка на наличие автокорреляции и гетероскедастичности.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Уравнение парной линейной регрессии
Вместе с этой задачей решают также:
Уравнение множественной регрессии
Выявление тренда методом аналитического выравнивания
Показатели вариации
Показатели динамики