Корреляционный анализ. Пример решения
Уравнение парной регрессии.
На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит логарифмическый характер.
Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln(x) + a + ε
Система нормальных уравнений.
a•n + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x2 = ∑y•x
Для наших данных система уравнений имеет вид
12a + 43.04 b = 1543
43.04 a + 154.41 b  = 5524.19
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:
Получаем b = -295.77, a = 1189.41
Уравнение регрессии:
y = -295.77 ln(x) + 1189.41
1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

1.1. Коэффициент корреляции
Ковариация.

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = -295.77 ln(x) + 1189.41
1.3. Коэффициент эластичности.
Коэффициент эластичности находится по формуле:

1.4. Ошибка аппроксимации.

1.5. Индекс корреляции (эмпирическое корреляционное отношение).

где
Sy0 = 3116.92 + 129.59 = 3246.51
Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

1.6. Коэффициент детерминации.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R2= -0.982 = 0.9584

ln(x)	y	x 2	y 2	x • y	y(x)	(yi-ycp) 2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y	
3.56	142	12.64	20164	504.86	137.86	180.01	17.16	0.000983	0.0292	
3.57	130	12.74	16900	464.04	133.66	2.01	13.41	0.000295	0.0282	
3.53	145	12.44	21025	511.32	146.43	269.51	2.05	0.003641	0.00987	
3.58	132	12.84	17424	473.02	129.53	11.67	6.12	1E-05	0.0187	
3.57	134	12.74	17956	478.32	133.66	29.34	0.11	0.000295	0.002521	
3.61	124	13.04	15376	447.75	121.42	21.01	6.65	0.000586	0.0208	
3.51	153	12.33	23409	537.27	150.81	596.17	4.78	0.005649	0.0143	
3.53	140	12.44	19600	493.69	146.43	130.34	41.36	0.003641	0.0459	
3.6	127	12.94	16129	456.86	125.45	2.51	2.42	0.000113	0.0122	
3.69	93	13.61	8649	343.07	98.36	1266.17	28.77	0.0104	0.0577	
3.66	108	13.42	11664	395.66	105.85	423.67	4.62	0.005907	0.0199	
3.64	115	13.23	13225	418.32	113.53	184.51	2.15	0.002589	0.0127	
43.04	1543	154.41	201521	5524.19	1543	3116.92	129.59	0.0341	0.27	

2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.1. Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=10 находим tкрит:
tкрит (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228
где m = 1 - количество объясняющих переменных.
2.2. Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

r(-1.0057;-0.9523)
2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S2y = 12.96 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

Sy = 3.6 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
Sa - стандартное отклонение случайной величины a.

Sb - стандартное отклонение случайной величины b.

2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
(a + bxp ± ε)
где

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и Xp = 4

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.
(a + bxi ± ε)
где

2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
tкрит (n-m-1;α/2) = (10;0.025) = 2.228

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
(b - tкрит Sb; b + tкрит Sb)
(a - tкрит Sa; a + tкрит Sa)
2) F-статистика. Критерий Фишера.

где m – число факторов в модели.

где m=1 для парной регрессии.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=10, Fтабл = 4.96

Все вычисления и комментарии к полученным результатам доступны в расширенном режиме. Также приводится проверка на наличие автокорреляции и гетероскедастичности.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Уравнение парной линейной регрессии
Вместе с этой задачей решают также:
Уравнение множественной регрессии
Выявление тренда методом аналитического выравнивания
Показатели вариации
Показатели динамики