Корреляционный анализ. Пример решения
Уравнение парной регрессии.
На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит гиперболический характер.
Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = b/x + a + ε
Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).
Система нормальных уравнений.
a•n + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x2 = ∑y•x
Для наших данных система уравнений имеет вид
16a + 0.05 b = 35142.1
0.05 a + 0 b  = 129.65
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:
Получаем b = 1219571.73, a = 1261.82
Уравнение регрессии:
y = 1219571.73 / x - 1261.82
1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

1.1. Коэффициент корреляции
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = 1219571.73/x + -1261.82
1.3. Коэффициент эластичности.
Коэффициент эластичности находится по формуле:

1.4. Ошибка аппроксимации.

1.5. Индекс корреляции (эмпирическое корреляционное отношение).

где
Sy0 = 810406779.31 + 777049763.16 = 1587456542.47
Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

1.6. Коэффициент детерминации.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R2= 0.212 = 0.0451

1/x	y	x 2	y 2	x • y	y(x)	(yi-ycp) 2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y	
0.002	352.9	0	124538.41	0.7	1142.7	3398423.12	623785.95	0	2.24	
0.002	187.1	0	35006.41	0.37	1145.55	4037211.14	918624.57	0	5.12	
0.0021	375.2	0	140775.04	0.77	1238.33	3316701.15	744993.16	0	2.3	
0.002	287.9	0	82886.41	0.58	1197	3642300.68	826456.97	0	3.16	
0.002	444	0	197136	0.9	1208.95	3070840.05	585151.75	0	1.72	
0.0022	462.4	0	213813.76	1.01	1395.78	3006690.98	871199.78	0	2.02	
0.0023	459.5	0	211140.25	1.07	1579.02	3016756.48	1253326.74	0	2.44	
0.0026	511.3	0	261427.69	1.32	1890.35	2839498.82	1901766.4	0	2.7	
0.0032	328.6	0	107977.96	1.05	2653.34	3488606.8	5404420.06	0	7.07	
0.0033	350	0	122500	1.16	2773.83	3409123.72	5874938.25	0	6.93	
0.0038	29837	0	890246569	113.88	3393.04	764003804.88	699283192.47	0	0.89	
0.0041	529.3	0	280158.49	2.18	3769.42	2779159.89	10498373.25	0	6.12	
0.0043	320	0	102400	1.38	3997.22	3520806.6	13521978.87	0	11.49	
0.0047	502	0	252004	2.34	4429.14	2870927.82	15422414.12	0	7.82	
0.0048	194.9	0	37986.01	0.94	4590.25	4005927.19	19319140.81	0	22.55	
		0	0	0	0	0	0	0	0	
0.0454	35142.1	0.0002	892416319.43	129.65	36403.92	810406779.31	777049763.16	0	84.57	

2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.1. Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=14 находим tкрит:
tкрит (n-m-1;α/2) = (14;0.025) = 2.145
где m = 1 - количество объясняющих переменных.
2.2. Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

r(-0.2997;0.7244)
2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S2y = 55503554.51 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

Sy = 7450.07 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
Sa - стандартное отклонение случайной величины a.

Sb - стандартное отклонение случайной величины b.

2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
(a + bxp ± ε)
где

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и Xp = 370.26

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.
(a + bxi ± ε)
где

2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
tкрит (n-m-1;α/2) = (14;0.025) = 2.145

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
(b - tкрит Sb; b + tкрит Sb)
(a - tкрит Sa; a + tкрит Sa)
2) F-статистика. Критерий Фишера.

где m – число факторов в модели.

где m=1 для парной регрессии.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=14, Fтабл = 4.6

Все вычисления и комментарии к полученным результатам доступны в расширенном режиме. Также приводится проверка на наличие автокорреляции и гетероскедастичности.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Уравнение парной линейной регрессии
Вместе с этой задачей решают также:
Уравнение множественной регрессии
Выявление тренда методом аналитического выравнивания
Показатели вариации
Показатели динамики