Корреляционный анализ. Пример решения
Уравнение парной регрессии.
На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит гиперболический характер.
Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = b/x + a + ε
Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).
Система нормальных уравнений.
a•n + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x2 = ∑y•x
Для наших данных система уравнений имеет вид
15a + 0.05 b = 35142.1
0.05 a + 0 b  = 129.65
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:
Получаем b = 1458065.04, a = 2067.29
Уравнение регрессии:
y = 1458065.04 / x - 2067.29
1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

1.1. Коэффициент корреляции
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = 1458065.04/x + -2067.29
1.3. Коэффициент эластичности.
Коэффициент эластичности находится по формуле:

1.4. Ошибка аппроксимации.

1.5. Индекс корреляции (эмпирическое корреляционное отношение).

где
Sy0 = 810085173.27 + 776034505.39 = 1586119678.66
Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

1.6. Коэффициент детерминации.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R2= 0.212 = 0.0424

1/x	y	x 2	y 2	x • y	y(x)	(yi-ycp) 2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y	
0.002	352.9	0	124538.41	0.7	807.44	3959728.54	206609.5	0	1.29	
0.002	187.1	0	35006.41	0.37	810.85	4647071.23	389061.46	0	3.33	
0.0021	375.2	0	140775.04	0.77	921.77	3871475.99	298741.48	0	1.46	
0.002	287.9	0	82886.41	0.58	872.36	4222641.41	341589.42	0	2.03	
0.002	444	0	197136	0.9	886.65	3605466.76	195938.83	0	1	
0.0022	462.4	0	213813.76	1.01	1110.01	3535929.23	419403.6	0	1.4	
0.0023	459.5	0	211140.25	1.07	1329.09	3546844	756181.86	0	1.89	
0.0026	511.3	0	261427.69	1.32	1701.29	3354416.67	1416083.29	0	2.33	
0.0032	328.6	0	107977.96	1.05	2613.5	4057028.5	5220749.32	0	6.95	
0.0033	350	0	122500	1.16	2757.54	3971278.41	5796267.84	0	6.88	
0.0038	29837	0	890246569	113.88	3497.84	755930667.05	693751191.18	0	0.88	
0.0041	529.3	0	280158.49	2.18	3947.83	3288806.43	11686340.98	0	6.46	
0.0043	320	0	102400	1.38	4220.18	4091746.81	15211423.43	0	12.19	
0.0047	502	0	252004	2.34	4736.56	3388569.18	17931491.58	0	8.44	
0.0048	194.9	0	37986.01	0.94	4929.18	4613503.05	22413431.61	0	24.29	
0.0454	35142.1	0.0002	892416319.43	129.65	35142.1	810085173.27	776034505.39	0	80.81	

2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.1. Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=13 находим tкрит:
tкрит (n-m-1;α/2) = (13;0.025) = 2.16
где m = 1 - количество объясняющих переменных.
2.2. Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

r(-0.3283;0.7399)
2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S2y = 59694961.95 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

Sy = 7726.25 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
Sa - стандартное отклонение случайной величины a.

Sb - стандартное отклонение случайной величины b.

2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
(a + bxp ± ε)
где

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и Xp = 370.26

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.
(a + bxi ± ε)
где

2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
tкрит (n-m-1;α/2) = (13;0.025) = 2.16

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
(b - tкрит Sb; b + tкрит Sb)
(a - tкрит Sa; a + tкрит Sa)
2) F-статистика. Критерий Фишера.

где m – число факторов в модели.

где m=1 для парной регрессии.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=13, Fтабл = 4.67

Все вычисления и комментарии к полученным результатам доступны в расширенном режиме. Также приводится проверка на наличие автокорреляции и гетероскедастичности.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Уравнение парной линейной регрессии
Вместе с этой задачей решают также:
Уравнение множественной регрессии
Выявление тренда методом аналитического выравнивания
Показатели вариации
Показатели динамики