Корреляционный анализ. Пример решения
Уравнение парной регрессии.
На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит показательный характер.
Показательное уравнение регрессии имеет вид y = a bx + ε
Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).
Система нормальных уравнений.
a•n + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x2 = ∑y•x
Для наших данных система уравнений имеет вид
10a + 120.1 b = 47.4
120.1 a + 1528.05 b  = 569.88
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:
Получаем b = 0.0066, a = 4.66
Уравнение регрессии:
y = exp(4.66)*exp(0.0066)x = 105.73*1.01x
1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

1.1. Коэффициент корреляции
Ковариация.

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Показательное уравнение регрессии имеет вид y = 105.7301 * 1.0066x
1.3. Коэффициент эластичности.
Коэффициент эластичности находится по формуле:

1.4. Ошибка аппроксимации.

1.5. Индекс корреляции (эмпирическое корреляционное отношение).

где
Sy0 = 0.02 + 0.02 = 0.04
Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

1.6. Коэффициент детерминации.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R2= 0.432 = 0.1883

x	log(y)	x 2	y 2	x • y	y(x)	(yi-ycp) 2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y	
18.6	4.76	345.96	22.64	88.5	4.78	0.000309	0.000675	43.43	0.005461	
15.1	4.75	228.01	22.56	71.73	4.76	9.7E-05	0.000112	9.55	0.002231	
12	4.73	144	22.41	56.81	4.74	3.4E-05	3.4E-05	0.0001	0.001224	
11.7	4.79	136.89	22.94	56.04	4.74	0.002469	0.002677	0.0961	0.0108	
10.9	4.78	118.81	22.86	52.12	4.73	0.001709	0.00237	1.23	0.0102	
9	4.75	81	22.53	42.72	4.72	4.1E-05	0.00069	9.06	0.005535	
11.9	4.73	141.61	22.41	56.34	4.74	3.4E-05	2.6E-05	0.0121	0.001084	
13.3	4.77	176.89	22.76	63.45	4.75	0.000923	0.000478	1.66	0.004581	
8.8	4.62	77.44	21.38	40.69	4.72	0.0135	0.009041	10.3	0.0206	
8.8	4.71	77.44	22.21	41.48	4.72	0.000738	3.5E-05	10.3	0.001262	
120.1	47.4	1528.05	224.72	569.88	47.4	0.0199	0.0161	85.65	0.0629	

2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.1. Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=8 находим tкрит:
tкрит (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306
где m = 1 - количество объясняющих переменных.
2.2. Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

r(-0.1579;1.0259)
2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S2y = 0.002 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

Sy = 0.0449 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
Sa - стандартное отклонение случайной величины a.

Sb - стандартное отклонение случайной величины b.

2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
(a + bxp ± ε)
где

Xp = 12.01 • 5% = 0.6
Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и Xp = 0.6

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.
(a + bxi ± ε)
где

2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
tкрит (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
(b - tкрит Sb; b + tкрит Sb)
(a - tкрит Sa; a + tкрит Sa)
2) F-статистика. Критерий Фишера.

где m – число факторов в модели.

где m=1 для парной регрессии.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=8, Fтабл = 5.32

Все вычисления и комментарии к полученным результатам доступны в расширенном режиме. Также приводится проверка на наличие автокорреляции и гетероскедастичности.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Уравнение парной линейной регрессии
Вместе с этой задачей решают также:
Уравнение множественной регрессии
Выявление тренда методом аналитического выравнивания
Показатели вариации
Показатели динамики