Корреляционный анализ. Пример решения
Уравнение парной регрессии.
На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε
Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).
Система нормальных уравнений.
a•n + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x2 = ∑y•x
Для наших данных система уравнений имеет вид
17a + 172322 b = 127954
172322 a + 5525219972 b  = 2987470157
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:
Получаем b = 0.45, a = 2991.68
Уравнение регрессии:
y = 0.45 x + 2991.68
1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

1.1. Коэффициент корреляции
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 0.45 x  + 2991.68
1.3. Коэффициент эластичности.
Коэффициент эластичности находится по формуле:

1.4. Ошибка аппроксимации.

1.5. Индекс корреляции (эмпирическое корреляционное отношение).

где
Sy0 = 1984069151.53 + 1227774335.57 = 3211843487.1
Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

1.6. Коэффициент детерминации.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R2= 0.622 = 0.3812

x	y	x 2	y 2	x • y	y(x)	(yi-ycp) 2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y	
8875	8047	78765625	64754209	71417125	6962.28	270705.97	1176613.79	1591604.88	0.13	
43232	7567	1869005824	57259489	327136544	22333.32	1623.62	218044218.15	1095306279.88	1.95	
3	2148	9	4613904	6444	2993.02	28930476.97	714062.19	102689610.52	0.39	
1	1435	1	2059225	1435	2992.13	37108880.56	2424645.19	102730148.88	1.09	
142	653	20164	426409	92726	3055.21	47247832.56	5770610.3	99891793.99	3.68	
1295	1094	1677025	1196836	1416730	3571.05	41379704.97	6135787.41	78173682.52	2.26	
1801	1382	3243601	1909924	2488982	3797.43	37757410.38	5834313.64	69482031.23	1.75	
43305	46192	1875323025	2133700864	2000344560	22365.98	1495004969.2	567679229.13	1100143538.99	0.52	
19299	9988	372451401	99760144	192758412	11625.89	6057968.73	2682694.81	83949789.35	0.16	
6862	19446	47087044	378146916	133438452	6061.68	142069572.26	179139965.96	10722928.11	0.69	
2038	1052	4153444	1106704	2143976	3903.46	41921816.26	8130848.3	65587131.4	2.71	
4885	5625	23863225	31640625	27478125	5177.19	3616485.26	200535.07	27579178.99	0.0796	
418	9733	174724	94731289	4068394	3178.69	4867733.73	42958984.99	94450957.29	0.67	
1513	6193	2289169	38353249	9370009	3668.58	1778771.38	6372678.34	74366274.05	0.41	
35173	6044	1237139929	36529936	212585612	18727.79	2198416.73	160878533.99	626821914.05	2.1	
331	548	109561	300304	181388	3139.77	48702335.79	6717253.61	96149560.64	4.73	
3149	807	9916201	651249	2541243	4400.52	45154447.15	12913360.72	48826389.35	4.45	
172322	127954	5525219972	2947141276	2987470157	127954	1984069151.53	1227774335.57	3778462814.12	27.78	

2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.1. Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=15 находим tкрит:
tкрит (n-m-1;α/2) = (15;0.025) = 2.131
где m = 1 - количество объясняющих переменных.
2.2. Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

r(0.2976;0.9372)
2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S2y = 81851622.37 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

Sy = 9047.19 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
Sa - стандартное отклонение случайной величины a.

Sb - стандартное отклонение случайной величины b.

2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
(a + bxp ± ε)
где

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и Xp = 11150

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.
(a + bxi ± ε)
где

2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
tкрит (n-m-1;α/2) = (15;0.025) = 2.131

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
(b - tкрит Sb; b + tкрит Sb)
(a - tкрит Sa; a + tкрит Sa)
2) F-статистика. Критерий Фишера.

где m – число факторов в модели.

где m=1 для парной регрессии.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=15, Fтабл = 4.54

Все вычисления и комментарии к полученным результатам доступны в расширенном режиме. Также приводится проверка на наличие автокорреляции и гетероскедастичности.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Уравнение парной линейной регрессии
Вместе с этой задачей решают также:
Уравнение множественной регрессии
Выявление тренда методом аналитического выравнивания
Показатели вариации
Показатели динамики