Корреляционный анализ. Пример решения
Уравнение парной регрессии.
На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.
Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a + ε
Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов).
Система нормальных уравнений.
a•n + b∑x = ∑y
a∑x + b∑x2 = ∑y•x
Для наших данных система уравнений имеет вид
10a + 65960 b = 44940
65960 a + 487848000 b  = 335099700
Из первого уравнения выражаем а и подставим во второе уравнение:
Получаем b = 0.73, a = 339.71
Уравнение регрессии:
y = 0.73 x - 339.71
1. Параметры уравнения регрессии.
Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение

1.1. Коэффициент корреляции
Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

1.2. Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 0.73 x -339.71
1.3. Коэффициент эластичности.
Коэффициент эластичности находится по формуле:

1.4. Ошибка аппроксимации.

1.5. Индекс корреляции (эмпирическое корреляционное отношение).

где
Sy0 = 29206040 + 863692.32 = 30069732.32
Для любой формы зависимости теснота связи определяется с помощью множественного коэффициента корреляции:

1.6. Коэффициент детерминации.
Чаще всего, давая интерпретацию коэффициента детерминации, его выражают в процентах.
R2= 0.992 = 0.9704

x	y	x 2	y 2	x • y	y(x)	(yi-ycp) 2	(y-y(x))2	(xi-xcp)2	|y - yx|:y	
13140	9340	172659600	87235600	122727600	9289.61	23483716	2539.42	42823936	0.0054	
5930	4120	35164900	16974400	24431600	4005.94	139876	13010.03	443556	0.0277	
7540	5250	56851600	27562500	39585000	5185.79	571536	4123.32	891136	0.0122	
5280	3670	27878400	13468900	19377600	3529.6	678976	19711.55	1731856	0.0383	
5200	3640	27040000	13249600	18928000	3470.98	729316	28569.05	1948816	0.0464	
5390	3360	29052100	11289600	18110400	3610.21	1285956	62606.52	1454436	0.0745	
5400	4090	29160000	16728100	22086000	3617.54	163216	223217.32	1430416	0.12	
6820	4520	46512400	20430400	30826400	4658.15	676	19086.2	50176	0.0306	
5370	3670	28836900	13468900	19707900	3595.56	678976	5541.84	1503076	0.0203	
5890	3280	34692100	10758400	19319200	3976.63	1473796	485287.07	498436	0.21	
65960	44940	487848000	231166400	335099700	44940	29206040	863692.32	52775840	0.58	

2. Оценка параметров уравнения регрессии.
2.1. Значимость коэффициента корреляции.

По таблице Стьюдента с уровнем значимости α=0.05 и степенями свободы k=8 находим tкрит:
tкрит (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306
где m = 1 - количество объясняющих переменных.
2.2. Интервальная оценка для коэффициента корреляции (доверительный интервал).

r(0.9635;1.0067)
2.3. Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.
Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S2y = 107961.54 - необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

Sy = 328.58 - стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).
Sa - стандартное отклонение случайной величины a.

Sb - стандартное отклонение случайной величины b.

2.4. Доверительные интервалы для зависимой переменной.
(a + bxp ± ε)
где

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и Xp = 1

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.
(a + bxi ± ε)
где

2.5. Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.
1) t-статистика. Критерий Стьюдента.
tкрит (n-m-1;α/2) = (8;0.025) = 2.306

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.
(b - tкрит Sb; b + tкрит Sb)
(a - tкрит Sa; a + tкрит Sa)
2) F-статистика. Критерий Фишера.

где m – число факторов в модели.

где m=1 для парной регрессии.
Табличное значение критерия со степенями свободы k1=1 и k2=8, Fтабл = 5.32

Все вычисления и комментарии к полученным результатам доступны в расширенном режиме. Также приводится проверка на наличие автокорреляции и гетероскедастичности.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Уравнение парной линейной регрессии
Вместе с этой задачей решают также:
Уравнение множественной регрессии
Выявление тренда методом аналитического выравнивания
Показатели вариации
Показатели динамики