Выбор оптимальной стратегии обновления оборудования

Найти оптимальную стратегию эксплуатации оборудования на период продолжительностью 6 лет, если годовой доход r(t) и остаточная стоимость S(t) в зависимости от возраста заданы в таблице, стоимость нового оборудования равна P = 10, а возраст оборудования к началу эксплуатационного периода составлял 1 год.
T0123456
r(t)8877665
S(t)10765432

Решение находим с помощью калькулятора.
I этап. Условная оптимизация (k = 6,5,4,3,2,1).
Переменной управления на k-м шаге является логическая переменная, которая может принимать одно из двух значений: сохранить (С) или заменить (З) оборудование в начале k-го года.
1-й шаг: k = 6. Для 1-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5,6, а функциональные уравнения имеют вид:
F6(t) = max(r(t), (C); S(t) - P + r(0), (З ) )
F6(1) = max(8 ; 7 - 10 + 8) = 8 (C)
F6(2) = max(7 ; 6 - 10 + 8) = 7 (C)
F6(3) = max(7 ; 5 - 10 + 8) = 7 (C)
F6(4) = max(6 ; 4 - 10 + 8) = 6 (C)
F6(5) = max(6 ; 3 - 10 + 8) = 6 (C)
F6(6) = max(5 ; 2 - 10 + 8) = 5 (C)
2-й шаг : k = 5. Для 2-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4,5, а функциональные уравнения имеют вид:
F5(t) = max(r(t) + F6(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F6(1))
F5(1) = max(8 + 7 ; 7 - 10 + 8 + 8) = 15 (C)
F5(2) = max(7 + 7 ; 6 - 10 + 8 + 8) = 14 (C)
F5(3) = max(7 + 6 ; 5 - 10 + 8 + 8) = 13 (C)
F5(4) = max(6 + 6 ; 4 - 10 + 8 + 8) = 12 (C)
F5(5) = max(6 + 5 ; 3 - 10 + 8 + 8) = 11 (C)
3-й шаг : k = 4. Для 3-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3,4, а функциональные уравнения имеют вид:
F4(t) = max(r(t) + F5(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F5(1))
F4(1) = max(8 + 14 ; 7 - 10 + 8 + 15) = 22 (C)
F4(2) = max(7 + 13 ; 6 - 10 + 8 + 15) = 20 (C)
F4(3) = max(7 + 12 ; 5 - 10 + 8 + 15) = 19 (C)
F4(4) = max(6 + 11 ; 4 - 10 + 8 + 15) = 17 (C/ З )
4-й шаг : k = 3. Для 4-го шага возможные состояния системы t = 1,2,3, а функциональные уравнения имеют вид:
F3(t) = max(r(t) + F4(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F4(1))
F3(1) = max(8 + 20 ; 7 - 10 + 8 + 22) = 28 (C)
F3(2) = max(7 + 19 ; 6 - 10 + 8 + 22) = 26 (C/ З )
F3(3) = max(7 + 17 ; 5 - 10 + 8 + 22) = 25 ( З )
5-й шаг : k = 2. Для 5-го шага возможные состояния системы t = 1,2, а функциональные уравнения имеют вид:
F2(t) = max(r(t) + F3(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F3(1))
F2(1) = max(8 + 26 ; 7 - 10 + 8 + 28) = 34 (C)
F2(2) = max(7 + 25 ; 6 - 10 + 8 + 28) = 32 (C/ З )
6-й шаг : k = 1. Для 6-го шага возможные состояния системы t = 1, а функциональные уравнения имеют вид:
F1(t) = max(r(t) + F2(t+1) ; S(t) - P + r(0) + F2(1))
F1(1) = max(8 + 32 ; 7 - 10 + 8 + 34) = 40 (C)
Результаты вычислений по уравнениям Беллмана Fk(t) приведены в таблице, в которой k - год эксплуатации, а t - возраст оборудования.

k / t123456
14000000
234320000
3282625000
42220191700
515141312110
6877665

В таблице выделено значение функции, соответствующее состоянию (З) - замена оборудования.

II этап. Безусловная оптимизация (k = 6,5,4,3,2,1)
Безусловная оптимизация начинается с шага при k = 1. Максимальной возможный доход от эксплуатации оборудования за годы с 1-го по 7-й составляет F1(1) = 40. Этот оптимальный выигрыш достигается, если на первом году не производить замены оборудования.
К началу 2-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t2 = t1 + 1 = 1 + 1 = 2.
Безусловное оптимальное управление при k = 2, x2(2) = (C/З), т.е. для получения максимума прибыли за оставшиеся годы необходимо в этом году провести замену оборудования.
К началу 3-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t3 = t2 + 1 = 0 + 1 = 1.
Оптимальное управление при k = 3, x3(1) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 3-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 4-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t4 = t3 + 1 = 1 + 1 = 2.
Оптимальное управление при k = 4, x4(2) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 4-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 5-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t5 = t4 + 1 = 2 + 1 = 3.
Оптимальное управление при k = 5, x5(3) = (C), т.е. максимум дохода за годы с 5-го по 6-й достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.
К началу 6-го года возраст оборудования увеличится на единицу и составит: t6 = t5 + 1 = 3 + 1 = 4.
Оптимальное управление при k = 6, x6(4) = (C), т.е. максимум дохода за 6-ой год достигается, если оборудование сохраняется, т.е. не заменяется.

Таким образом, за 6 лет эксплуатации оборудования замену надо произвести в начале 2-го года эксплуатации.

Перейти к онлайн решению своей задачи

загрузка...