Задачи о замене оборудования

Важной практической задачей является определение оптимальных сроков замены старых станков, производственных зданий, агрегатов, машин и т.д., другими словами – старого оборудования, на новое. Критерием оптимальности при определении сроков замены может служить либо прибыль от эксплуатации оборудования, которую следует максимизировать, либо суммарные затраты на эксплуатацию, подлежащие минимизации.
Рассмотрим модель динамического программирования задачи о замене оборудования.
Определить оптимальные сроки замены оборудования в течение n лет, при которых прибыль от эксплуатации оборудования максимальна, если известны: Р – начальная стоимость оборудования; f(t) – стоимость производимой продукции на оборудовании возраста t лет; r(t) – стоимость эксплуатационных издержек;φ(t) – ликвидная стоимость оборудования возраста t лет.
При составлении модели ДП процесс замены рассматривается как n-шаговый процесс. В начале каждого промежутка (года, месяца, недели и т.д.) принимается решение либо о сокращении оборудования, либо о сохранении оборудования, либо о его замене, поэтому управление на k-м шаге содержит всего лишь две альтернативные переменные. Функциональные уравнения благодаря этому содержат две величины: одна выражает условную прибыль (условные затраты) при сохранении оборудования, другая – тот же показатель при замене оборудования.
Состояние системы в начале k-го шага: εk-1 = t – возраст оборудования. В конце k-го шага под влиянием управления uc (решение о сохранении оборудования) система перейдет в состояние εk-1 = t+1, т.е. возраст оборудования увеличится на один год. Под влиянием управления uз (решение о замене оборудования) система из состояния εk-1 = t перейдет в состояние εk-1 = 1, т.е. произвели замену оборудования в начале k-го года, поэтому в конце k-го года возраст оборудования равен одному году.
Таким образом, уравнение состояния имеет вид
(1)

Используя обратную вычислительную схему решения, составим функциональное уравнение. Для этого найдем зависимость между двумя величинами, входящими в условие задачи, на двух смежных этапах. Если сохранить оборудование, возраст которого t лет, то прибыль предприятия от его использования состоит из прибыли на n-м шаге, которая рассчитывается как разность [f(t) – r(t)] и прибыли, полученной на (n + 1)-м шаге, считая от конца процесса, при работе оборудования, возраст которого (t + 1) лет, т.е.
Fn = f(t) – r(t) + Fn+1(t+1), (2)
Если на n-м шаге оборудование, возраст которого t лет, заменить новым, то прибыль после такой замены будет рассчитываться по формуле (3), где f(0) – стоимость продукции, произведенной на оборудовании, возраст которого 0 лет, r(0) – эксплуатационные издержки, Fn+1(1) – прибыль полученная на (n + 1)-м шаге, рассчитывая от конца процесса, при работе оборудования, возраст которого (0+1) лет.
Fn = φ(t) + f(0) – P - r(0) + Fn+1(1), (3)
Таким образом, если величина прибыли (2) будет больше или равна величине прибыли (3), то нужно работать на старом оборудовании, в противном случае оборудование следует заменить.
Объединяя (2) и (3), получаем соотношения Беллмана:
, (4)
Для последнего шага, т.е. когда возраст оборудования равен n лет, слагаемые Fn+1*(t+1) и Fn+1*(1) из выражения (4) не имеют смысла, поэтому мы исключаем их из уравнения, которое запишется следующим образом:
, (5)
Уравнения Беллмана (4) и (5) позволяют определить величину Fk*( t) и Fk+1*(t+1), где при переходе от одного шага к другому возраст оборудования и число пройденных этапов увеличиваются от t до (t + 1) и от n до (n + 1) соответственно.

Пример. В начале планового периода продолжительностью в N лет имеется оборудование возраста t. Известны стоимость r(t) продукции, производимой в течение года с использованием этого оборудования; ежегодные расходы u(t), связанные с эксплуатацией оборудования; его остаточная стоимость s; стоимость p нового оборудования (сюда же включены расходы, связанные с установкой, наладкой и запуском оборудования). Требуется:
1) пользуясь функциональными уравнениями, составить матрицу максимальных прибылей fn(t) за N лет;
2) сформировать по матрице максимальных прибылей оптимальные стратегии замены оборудования данных возрастов t и t1 лет в плановом периоде продолжительностью соответственно N и N1 лет.

загрузка...