Игры с природой. Пример решения

Задание. Фирма планирует реализацию своей продукции на рынках, учитывая возможные варианты покупательского спроса Пj, j=1,4 (низкий, средний, высокий, очень высокий). На предприятии разработано три стратегии сбыта товаров A1, А2, А3. Объем товарооборота (ден.ед.), зависящий от стратегии и покупательского спроса, представлен в таблице.

Аj

Пj

П1 П2 П3 П4
А1 30 +N 10 20 25 + N/2
А2 50 70 - N 10 + N/2 25
А3 25 – N/2 35 40 60 - N/2
где N=3
Известны возможные состояния покупательского спроса, которые соответственно q1=0,3, q2=0,2, q3=0,4, q4=0,1. Необходимо найти стратегию сбыта, максимизирующую средний товарооборот фирмы. При этом использовать критерии Вальда, Гурвица, Сэвиджа, Байеса.

Решение находим с помощью калькулятора.
Критерий Байеса.
По критерию Байеса за оптимальные принимается та стратегия (чистая) Ai, при которой максимизируется средний выигрыш a или минимизируется средний риск r.
Считаем значения ∑(aijpj)
∑(a1,jpj) = 33•0.3 + 10•0.2 + 20•0.4 + 26.5•0.1 = 22.55
∑(a2,jpj) = 50•0.3 + 67•0.2 + 11.5•0.4 + 25•0.1 = 35.5
∑(a3,jpj) = 23.5•0.3 + 35•0.2 + 40•0.4 + 58.5•0.1 = 35.9

Ai П1 П2 П3 П4 ∑(aijpj)
A1 9.9 2 8 2.65 22.55
A2 15 13.4 4.6 2.5 35.5
A3 7.05 7 16 5.85 35.9
pj 0.3 0.2 0.4 0.1
Вывод: выбираем стратегию N=3.
Критерий Лапласа.
Если вероятности состояний природы правдоподобны, для их оценки используют принцип недостаточного основания Лапласа, согласно которого все состояния природы полагаются равновероятными, т.е.:
q1 = q2 = ... = qn = 1/n.
qi = 1/4
Ai П1 П2 П3 П4 ∑(aij)
A1 8.25 2.5 5 6.63 22.38
A2 12.5 16.75 2.88 6.25 38.38
A3 5.88 8.75 10 14.63 39.25
pj 0.25 0.25 0.25 0.25
Вывод: выбираем стратегию N=3.
Критерий Вальда.
По критерию Вальда за оптимальную принимается чистая стратегия, которая в наихудших условиях гарантирует максимальный выигрыш, т.е.
a = max(min aij)
Критерий Вальда ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Ai П1 П2 П3 П4 min(aij)
A1 33 10 20 26.5 10
A2 50 67 11.5 25 11.5
A3 23.5 35 40 58.5 23.5
Вывод: выбираем стратегию N=3.
Критерий Севиджа.
Критерий минимального риска Севиджа рекомендует выбирать в качестве оптимальной стратегии ту, при которой величина максимального риска минимизируется в наихудших условиях, т.е. обеспечивается:
a = min(max rij)
Критерий Сэвиджа ориентирует статистику на самые неблагоприятные состояния природы, т.е. этот критерий выражает пессимистическую оценку ситуации.
Находим матрицу рисков.
Риск – мера несоответствия между разными возможными результатами принятия определенных стратегий. Максимальный выигрыш в j-м столбце bj = max(aij) характеризует благоприятность состояния природы.
1. Рассчитываем 1-й столбец матрицы рисков.
r11 = 50 - 33 = 17; r21 = 50 - 50 = 0; r31 = 50 - 23.5 = 26.5;
2. Рассчитываем 2-й столбец матрицы рисков.
r12 = 67 - 10 = 57; r22 = 67 - 67 = 0; r32 = 67 - 35 = 32;
3. Рассчитываем 3-й столбец матрицы рисков.
r13 = 40 - 20 = 20; r23 = 40 - 11.5 = 28.5; r33 = 40 - 40 = 0;
4. Рассчитываем 4-й столбец матрицы рисков.
r14 = 58.5 - 26.5 = 32; r24 = 58.5 - 25 = 33.5; r34 = 58.5 - 58.5 = 0;
Ai П1 П2 П3 П4
A1 17 57 20 32
A2 0 0 28.5 33.5
A3 26.5 32 0 0

Ai П1 П2 П3 П4 max(aij)
A1 17 57 20 32 57
A2 0 0 28.5 33.5 33.5
A3 26.5 32 0 0 32
Вывод: выбираем стратегию N=3.
Критерий Гурвица.
Критерий Гурвица является критерием пессимизма - оптимизма. За (оптимальную принимается та стратегия, для которой выполняется соотношение:
max(si)
где si = y min(aij) + (1-y)max(aij)
При y = 1 получим критерий Вальде, при y = 0 получим – оптимистический критерий (максимакс).
Критерий Гурвица учитывает возможность как наихудшего, так и наилучшего для человека поведения природы. Как выбирается y? Чем хуже последствия ошибочных решений, тем больше желание застраховаться от ошибок, тем y ближе к 1.
Рассчитываем si.
s1 = 0.5•10+(1-0.5)•33 = 21.5
s2 = 0.5•11.5+(1-0.5)•67 = 39.25
s3 = 0.5•23.5+(1-0.5)•58.5 = 41
Ai П1 П2 П3 П4 min(aij) max(aij) y min(aij) + (1-y)max(aij)
A1 33 10 20 26.5 10 33 21.5
A2 50 67 11.5 25 11.5 67 39.25
A3 23.5 35 40 58.5 23.5 58.5 41
Вывод: выбираем стратегию N=3.
Таким образом, в результате решения статистической игры по различным критериям чаще других рекомендовалась стратегия A3.

Руководство компании принимает решение о размещении производства нового продукта в некотором месте. Чтобы сформировать представление о ситуации на рынке нового продукта на момент освоения производства, ему необходимо учесть затраты на доставку готовой продукции до потребителя, развитость транспортной и социальной инфраструктуры региона, конкуренцию на рынке, соотношение спроса и предложения, курсы валют и многое другое. Возможные варианты решений, инвестиционная привлекательность которых определяется как процент прироста дохода по отношению к сумме капитальных вложений, представлены в таблице.
Выбрать:
1) место для размещения производства, если руководитель предприятия уверен в том, что на рынке сложится ситуация 4;
2) место для размещения производства, если руководство оценивает вероятность ситуации 1 в 0,2; ситуации 2 в 0,1; ситуации 3 в 0,25;
3) провести выбор варианта в условиях неопределенности по критерию: максимакс, максимин, критерий Лапласа, критерий Сэведжа, критерий Гурвица (y = 0,3);
4) изменится ли наилучший вариант решения по критерию Гурвица если величину a увеличить до 0,5?
5) предположив, что данные таблицы представляют затраты предприятия, определить выбор, который сделает предприятие при использовании каждого из следующих критериев: максимин; максимакс; критерий Гурвица(? = 0,3); критерий Сэведжа; критерий Лапласа

загрузка...