Игры с природой: критерии Максимакса, Байеса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица
Матрица рисков
Седловая точка
Платежная матрица
Смешанные стратегии
Метод Брауна
Чистые стратегии
Цена игры
Динамическое программирование
Системы массового обслуживания

Теория игр

Решить игру с матрицей (тип mх2). В ответе указать цену игры и вероятности применения стратегий , т.е. v, p, q.

ИгрокиB1B2a = min(Ai)
A1030
A2-44-4
A32-9-9
A4-55-5
A5-79-7
b = max(Bi)29
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 0, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1.
Верхняя цена игры b = min(bj) = 2.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 0 <= y <= 2. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии)

В матрице присутствуют отрицательные элементы. Для упрощения расчетов добавим к элементам матрицы (9). Такая замена не изменит решения игры, изменится только ее цена (по теореме фон Неймана).

912
513
110
414
218

Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:
1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии B1, правый - стратегии B2 (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1,p2).
2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии B1. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии B2.
Решение игры (m x 2) проводим с позиции игрока B, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.
Максиминной оптимальной стратегии игрока B соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых A1A1 и A3A3, для которых можно записать следующую систему уравнений:
y = 9 + (12 - 9)q2
y = 11 + (0 - 11)q2
Откуда
q1 = 6/7
q2 = 1/7
Цена игры, y = 93/7
Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока A, записав соответствующую систему уравнений, исключив стратегию A2,A4,A5, которая дает явно больший проигрыш игроку A, и, следовательно, p2 = 0,p4 = 0,p5 = 0.
9p1+11p3 = y
12p1 = y
p1+p3 = 1
или
9p1+11p3 = 93/7
12p1 = 93/7
p1+p3 = 1
Решая эту систему методом Гаусса, находим:
p1 = 11/14
p3 = 3/14
Решение матричной игры графическим методом

Поскольку ранее к элементам матрицы было прибавлено число (9), то вычтем это число из цены игры.
Цена игры: y = 93/7 - 9 = 3/7
загрузка...
12+ Все права защищены и охраняются законом. Copyright © ООО Новый семестр 2006-2016 Все права защищены и охраняются законом. Copyright © ООО Новый семестр 2006-2013 Теория игр онлайн