Игры с природой: критерии Максимакса, Байеса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица
Матрица рисков
Седловая точка
Платежная матрица
Смешанные стратегии
Метод Брауна
Чистые стратегии
Цена игры
Динамическое программирование
Системы массового обслуживания

Теория игр. Решение матричной игры

Найти седловые точки и соответствующие им ситуации в платежных матрицах, а также цену матричной игры.
ИгрокиB1B2a = min(Ai)
A1211
A2030
A33-3-3
b = max(Bi)33
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 1, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1.
Верхняя цена игры b = min(bj) = 3.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 1 <= y <= 3. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии)

В матрице присутствуют отрицательные элементы. Для упрощения расчетов добавим к элементам матрицы (3). Такая замена не изменит решения игры, изменится только ее цена (по теореме фон Неймана).

54
36
60

Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:
1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии B1, правый - стратегии B2 (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1,p2).
2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии B1. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии B2.
Решение игры (m x 2) проводим с позиции игрока B, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.
Максиминной оптимальной стратегии игрока B соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых A1A1 и A2A2, для которых можно записать следующую систему уравнений:
y = 5 + (4 - 5)q2
y = 3 + (6 - 3)q2
Откуда
q1 = 1/2
q2 = 1/2
Цена игры, y = 41/2
Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока A, записав соответствующую систему уравнений, исключив стратегию A3, которая дает явно больший проигрыш игроку A, и, следовательно, p3 = 0.
5p1+3p2 = y
4p1+6p2 = y
p1+p2 = 1
или
5p1+3p2 = 41/2
4p1+6p2 = 41/2
p1+p2 = 1
Решая эту систему методом Гаусса, находим:
p1 = 3/4
p2 = 1/4
Решение матричной игры графическим методом

Поскольку ранее к элементам матрицы было прибавлено число (3), то вычтем это число из цены игры.
Цена игры: y = 41/2 - 3 = 11/2

загрузка...
12+ Все права защищены и охраняются законом. Copyright © ООО Новый семестр 2006-2016 Все права защищены и охраняются законом. Copyright © ООО Новый семестр 2006-2013 Теория игр онлайн