• Антогонистическая игра онлайн
  • Критерий Гурвица онлайн
  • Поиск по сайту

    Теория игр. Решение задач. Пример 12

    Задание. Найти решение матричной игры графическим методом.
    ИгрокиB1B2B3a = min(Ai)
    A1712117
    A2109139
    b = max(Bi)101213
    Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 9, которая указывает на максимальную чистую стратегию A2.
    Верхняя цена игры b = min(bj) = 10.
    Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 9 <= y <= 10. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии)

    С позиции проигрышей игрока В стратегия B3 доминирует над стратегией B1 (все элементы столбца 3 больше элементов столбца 1), следовательно исключаем 3-ой столбец матрицы. Вероятность q3 = 0.

    712
    109

    Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:
    1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии A1, правый - стратегии A2 (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1,p2).
    2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A1. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии A2.
    Решение игры (2 x n) проводим с позиции игрока A, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.
    Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых B1B1 и B2B2, для которых можно записать следующую систему уравнений:
    y = 7 + (10 - 7)p2
    y = 12 + (9 - 12)p2
    Откуда
    p1 = 1/6
    p2 = 5/6
    Цена игры, y = 91/2
    Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений
    7q1+12q2 = y
    10q1+9q2 = y
    q1+q2 = 1
    или
    7q1+12q2 = 91/2
    10q1+9q2 = 91/2
    q1+q2 = 1
    Решая эту систему методом матриц, находим:
    q1 = 1/2
    q2 = 1/2

    Решение матричной игры графическим методом