Поиск по сайту

Теория игр. Решение задач. Пример 12

Задание. Найти решение матричной игры графическим методом.
ИгрокиB1B2B3a = min(Ai)
A1712117
A2109139
b = max(Bi)101213
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 9, которая указывает на максимальную чистую стратегию A2.
Верхняя цена игры b = min(bj) = 10.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 9 <= y <= 10. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии)

С позиции проигрышей игрока В стратегия B3 доминирует над стратегией B1 (все элементы столбца 3 больше элементов столбца 1), следовательно исключаем 3-ой столбец матрицы. Вероятность q3 = 0.

712
109

Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:
1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии A1, правый - стратегии A2 (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1,p2).
2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A1. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии A2.
Решение игры (2 x n) проводим с позиции игрока A, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.
Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых B1B1 и B2B2, для которых можно записать следующую систему уравнений:
y = 7 + (10 - 7)p2
y = 12 + (9 - 12)p2
Откуда
p1 = 1/6
p2 = 5/6
Цена игры, y = 91/2
Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений
7q1+12q2 = y
10q1+9q2 = y
q1+q2 = 1
или
7q1+12q2 = 91/2
10q1+9q2 = 91/2
q1+q2 = 1
Решая эту систему методом матриц, находим:
q1 = 1/2
q2 = 1/2

Решение матричной игры графическим методом