Теория игр. Решение матричной игры

Задание. Графически решить игру, заданной заданную платежной матрицей.

ИгрокиB1B2B3B4a = min(Ai)
A1-13284-13
A2-1-6-1-2-6
b = max(Bi)-1284

Решение. Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = -6, которая указывает на максимальную чистую стратегию A2.
Верхняя цена игры b = min(bj) = -1.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах -6 <= y <= -1. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии)

С позиции проигрышей игрока В стратегия B3 доминирует над стратегией B1 (все элементы столбца 3 больше элементов столбца 1), следовательно исключаем 3-ой столбец матрицы. Вероятность q3 = 0.
С позиции проигрышей игрока В стратегия B4 доминирует над стратегией B2 (все элементы столбца 4 больше элементов столбца 2), следовательно исключаем 4-ой столбец матрицы. Вероятность q4 = 0.

-132
-1-6

В матрице присутствуют отрицательные элементы. Для упрощения расчетов добавим к элементам матрицы (13). Такая замена не изменит решения игры, изменится только ее цена (по теореме фон Неймана).

015
127

Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:
1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии A1, правый - стратегии A2 (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1,p2).
2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A1. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии A2.
Решение игры (2 x n) проводим с позиции игрока A, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.
Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых B1B1 и B2B2, для которых можно записать следующую систему уравнений:
y = 0 + (12 - 0)p2
y = 15 + (7 - 15)p2
Откуда
p1 = 1/4
p2 = 3/4
Цена игры, y = 9
Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений
15q2 = y
12q1+7q2 = y
q1+q2 = 1
или
15q2 = 9
12q1+7q2 = 9
q1+q2 = 1
Решая эту систему методом Гаусса, находим:
q1 = 2/5
q2 = 3/5
Решение матричной игры графическим методом

Поскольку ранее к элементам матрицы было прибавлено число (13), то вычтем это число из цены игры.
Цена игры: y = 9 - 13 = -4

загрузка...
12+ Все права защищены и охраняются законом. Copyright © ООО Новый семестр 2006-2017 Все права защищены и охраняются законом. Copyright © ООО Новый семестр 2006-2013 Теория игр онлайн