Игры с природой: критерии Максимакса, Байеса, Лапласа, Вальда, Сэвиджа и Гурвица
Матрица рисков
Седловая точка
Платежная матрица
Смешанные стратегии
Метод Брауна
Чистые стратегии
Цена игры
Динамическое программирование
Системы массового обслуживания

Теория игр. Решение матричной игры

Задание. Графически решить игру, заданной заданную платежной матрицей.

ИгрокиB1B2B3B4a = min(Ai)
A1-13284-13
A2-1-6-1-2-6
b = max(Bi)-1284

Решение. Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = -6, которая указывает на максимальную чистую стратегию A2.
Верхняя цена игры b = min(bj) = -1.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах -6 <= y <= -1. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии)

С позиции проигрышей игрока В стратегия B3 доминирует над стратегией B1 (все элементы столбца 3 больше элементов столбца 1), следовательно исключаем 3-ой столбец матрицы. Вероятность q3 = 0.
С позиции проигрышей игрока В стратегия B4 доминирует над стратегией B2 (все элементы столбца 4 больше элементов столбца 2), следовательно исключаем 4-ой столбец матрицы. Вероятность q4 = 0.

-132
-1-6

В матрице присутствуют отрицательные элементы. Для упрощения расчетов добавим к элементам матрицы (13). Такая замена не изменит решения игры, изменится только ее цена (по теореме фон Неймана).

015
127

Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:
1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии A1, правый - стратегии A2 (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1,p2).
2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A1. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии A2.
Решение игры (2 x n) проводим с позиции игрока A, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.
Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых B1B1 и B2B2, для которых можно записать следующую систему уравнений:
y = 0 + (12 - 0)p2
y = 15 + (7 - 15)p2
Откуда
p1 = 1/4
p2 = 3/4
Цена игры, y = 9
Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений
15q2 = y
12q1+7q2 = y
q1+q2 = 1
или
15q2 = 9
12q1+7q2 = 9
q1+q2 = 1
Решая эту систему методом Гаусса, находим:
q1 = 2/5
q2 = 3/5
Решение матричной игры графическим методом

Поскольку ранее к элементам матрицы было прибавлено число (13), то вычтем это число из цены игры.
Цена игры: y = 9 - 13 = -4

загрузка...
12+ Все права защищены и охраняются законом. Copyright © ООО Новый семестр 2006-2016 Все права защищены и охраняются законом. Copyright © ООО Новый семестр 2006-2013 Теория игр онлайн