Поиск по сайту

Теория игр. Решение матричной игры

Найти решение матричной игры графическим способом
ИгрокиB1B2B3B4a = min(Ai)
A143673
A257292
b = max(Bi)5769

Решение. Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 3, которая указывает на максимальную чистую стратегию A1.
Верхняя цена игры b = min(bj) = 5.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 3 <= y <= 5. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии)

С позиции проигрышей игрока В стратегия B4 доминирует над стратегией B1 (все элементы столбца 4 больше элементов столбца 1), следовательно исключаем 4-ой столбец матрицы. Вероятность q4 = 0.

436
572

Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:
1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии A1, правый - стратегии A2 (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1,p2).
2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A1. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии A2.
Решение игры (2 x n) проводим с позиции игрока A, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.
Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых B1B1 и B3B3, для которых можно записать следующую систему уравнений:
y = 4 + (5 - 4)p2
y = 6 + (2 - 6)p2
Откуда
p1 = 3/5
p2 = 2/5
Цена игры, y = 42/5
Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений, исключив стратегию B2, которая дает явно больший проигрыш игроку B, и, следовательно, q2 = 0.
4q1+6q3 = y
5q1+2q3 = y
q1+q3 = 1
или
4q1+6q3 = 42/5
5q1+2q3 = 42/5
q1+q3 = 1
Решая эту систему методом Гаусса, находим:
q1 = 4/5
q3 = 1/5

Решение матричной игры графическим методом

Практическое применение графического метода демонстрирует задача по теории игр.