Поиск по сайту

Матричная игра с платежной матрицей

Дана матричная игра с платежной матрицей. Используя графический анализ игры, найти оптимальные смешанные стратегии игроков и цену этой матричной игры.
Рассмотреть матричную игру с платежной матрицей, являющейся транспонированной к предложенной матрице. Решить эту игру графически и сравнить полученные результаты.
ИгрокиB1B2a = min(Ai)
A10.410.4
A210.50.5
b = max(Bi)11
Находим гарантированный выигрыш, определяемый нижней ценой игры a = max(ai) = 0.5, которая указывает на максимальную чистую стратегию A2.
Верхняя цена игры b = min(bj) = 1.
Что свидетельствует об отсутствии седловой точки, так как a ≠ b, тогда цена игры находится в пределах 0.5 <= y <= 1. Находим решение игры в смешанных стратегиях. Объясняется это тем, что игроки не могут объявить противнику свои чистые стратегии: им следует скрывать свои действия. Игру можно решить, если позволить игрокам выбирать свои стратегии случайным образом (смешивать чистые стратегии)

Чтобы представить числа целыми, умножим элементы матрицы на 10 и вычтем 3. Такая замена не изменит решения игры, изменится только ее цена (по теореме фон Неймана).

17
72

Решим задачу геометрическим методом, который включает в себя следующие этапы:
1. В декартовой системе координат по оси абсцисс откладывается отрезок, длина которого равна 1. Левый конец отрезка (точка х = 0) соответствует стратегии A1, правый - стратегии A2 (x = 1). Промежуточные точки х соответствуют вероятностям некоторых смешанных стратегий S1 = (p1,p2).
2. На левой оси ординат откладываются выигрыши стратегии A1. На линии, параллельной оси ординат, из точки 1 откладываются выигрыши стратегии A2.
Решение игры (2 x n) проводим с позиции игрока A, придерживающегося максиминной стратегии. Доминирующихся и дублирующих стратегий ни у одного из игроков нет.
Максиминной оптимальной стратегии игрока A соответствует точка N, лежащая на пересечении прямых B1B1 и B2B2, для которых можно записать следующую систему уравнений:
y = 1 + (7 - 1)p2
y = 7 + (2 - 7)p2
Откуда
p1 = 5/11
p2 = 6/11
Цена игры, y = 43/11
Теперь можно найти минимаксную стратегию игрока B, записав соответствующую систему уравнений
q1+7q2 = y
7q1+2q2 = y
q1+q2 = 1
или
q1+7q2 = 43/11
7q1+2q2 = 43/11
q1+q2 = 1
Решая эту систему методом обратной матрицы, находим:
q1 = 5/11
q2 = 6/11
Решение матричной игры графическим методом

Поскольку ранее к элементам матрицы было прибавлено число (-3), то вычтем это число из цены игры.
Цена игры: y = 43/11 - (-3) = 73/11
Поскольку ранее элементы матрицы были умножены на число (10), то разделим цену игры на это число.
Цена игры: y = 73/11 / 10 = 8/11