Игровые модели в экономике

Основные понятия теории игр

В экономической практике часто имеют место конфликтные ситуации. Игровые модели - это, в основном, упрощенные математические модели конфликтов. В отличие от реального конфликта игра ведётся по четким правилам. Для моделирования конфликтных ситуаций разработан специальный аппарат - математическая теория игр. Стороны, участвующие в конфликте, называются игроками.

Каждая формализованная игра (модель) характеризуется:

1. количеством субъектов - игроков, участвующих в конфликте;

2. вариантом действий для каждого из игроков, называемых стратегиями;

3. функциями выигрыша или проигрыша (платежа) исхода конфликта;

Игра, в которой участвуют два игрока A и B называется парной. Если же количество игроков больше двух, то это игра множественная. Мы будем рассматривать модели только парных игр.

Игра, в которой выигрыш одного из игроков точно равен проигрышу другого, называется антагонистической игрой или игрой с нулевой суммой. С рассмотрения моделей антагонистических игр мы и начнём.

Смоделировать (решить) антагонистическую игру - значит, для каждого игрока указать стратегии, удовлетворяющие условию оптимальности, т.е. игрок A должен получить максимальный гарантированный выигрыш, какой бы своей стратегии не придерживался игрок B, а игрок B должен получить минимальный проигрыш, какой бы своей стратегии не придерживался игрок A. Оптимальные стратегии характеризуются устойчивостью, то есть ни одному из игроков не выгодно отклоняться от своей оптимальной стратегии.

Примечание. Различают игры кооперативные и некооперативные, с полной информацией и не полной. В игре с полной информацией перед каждым ходом каждый игрок знает все возможные ходы (стратегии поведения) и выигрыши. В кооперативных играх допускается возможность предварительных переговоров между игроками. Мы будем рассматривать некооперативные игры с полной информацией.

Математическая теория игр является разделом математики, изучающей принятие решений в конфликтных ситуациях.
Определим основные понятия теории игр.
Игра – упрощенная формализованная модель конфликтной ситуации. Игрок – одна из сторон в игровой ситуации. В зависимости от постановки задачи, стороной может выступать коллектив или даже целое государство.
Каждый игрок может иметь свои стратегии. Стратегией i-го игрока x2 называется одно из возможных решений из множества допустимых решений этого игрока.
По количеству стратегий игры делятся на конечные, в которых число стратегий ограничено, и бесконечные, которые имеют бесконечно много различных стратегий.
Каждый из n участников игры может выбирать свою стратегию. Совокупность стратегий x=x1,x2,…,xn, которые выбрали участники игры, называется игровой ситуацией.
Оценить ситуацию x с точки зрения преследуемых ЛПР целей можно, построив целевые функции (или критерии качества), ставящие в соответствие каждой ситуации x числовые оценки f1(x),f2(x),…,fn(x) (например, доходы фирм в ситуации x или их затраты и т. д.).
Тогда цель i– го ЛПР формализуется следующим образом: выбрать такое свое решение xi, чтобы в ситуации x=x1,x2,…,xn число fi(x) было как можно большим (или меньшим). Однако достижение этой цели от него зависит лишь частично, поскольку другие участники игры влияют на общую ситуацию x с целью достижения своих собственных целей (оптимизируют свои целевые функции). Значение целевой функции в той или иной игровой ситуации можно назвать выигрышем игрока в этой ситуации.
По характеру выигрышей игры можно разделить на игры с нулевой и ненулевой суммой. В играх с нулевой суммойсумма выигрышей в каждой игровой ситуации равна нулю. Игры двух игроков с нулевой суммой называются антагонистическими. В этих играх выигрыш одного игрока равен проигрышу другого.
В играх с ненулевой суммой в выигрыше или проигрыше могут оказаться все участники игры.
По виду функции выигрышей игры можно разделить на матричные, биматричные, непрерывные, сепарабельные и т. д.
Матричными играми называются конечные игры двух игроков с нулевой суммой. В этом случае номер строки матрицы соответствует номеру стратегии Ai игрока 1, а номер столбца – номеру стратегии Bj игрока 2.
Элементами матрицы aij является выигрыш игрока 1 для ситуации (реализации стратегий) AiBj. В силу того, что рассматривается матричная игра с нулевой суммой, выигрыш игрока 1 равен проигрышу игрока 2.
Можно показать, что всякая матричная игра с известной матрицей платежей сводится к решению задачи линейного программирования.
Поскольку в прикладных задачах экономики и управления ситуации, сводящиеся к матричным играм, встречаются не очень часто, мы не будем останавливаться на решении этих задач.
Биматричная игра – это конечная игра двух игроков с ненулевой суммой. В этом случае для каждой игровой ситуации AiBj каждый из игроков имеет свой выигрыш aij для первого игрока и bij– для второго игрока. К биматричной игре сводится, например, поведение производителей на рынках несовершенной конкуренции.
По степени неполноты информации, которой обладают ЛПР, игры делятся на стратегические и статистические.
Стратегические игры – это игры в условиях полной неопределенности.
Статистические игры – это игры с частичной неопределенностью. В статистической игре всегда имеется один активный игрок, имеющий свои стратегии и цели. Другим игроком (пассивным, не преследующим своих целей) является природа. Этот игрок реализует свои стратегии (состояния природы) случайным образом, причем вероятность реализации того или иного состояния можно оценить с помощью статистического эксперимента.
Поскольку с теорией статистических игр тесно связана теория принятия экономических решений, то в дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только этого класса игр.

загрузка...