О.Р. и Ф.С.Р. однородной СЛАУ

6. Решить СЛАУ методом Гаусса:
.
Первый метод решения. Запишем систему в виде расширенной матрицы:
1-34
21-1
11-1217
2
1
3

Умножим 1-ую строку на (2). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
0-79
21-1
11-1217
3
1
3

Умножим 2-ую строку на (11). Умножим 3-ую строку на (-2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0-79
035-45
11-1217
3
5
3

Умножим 1-ую строку на (5). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
000
035-45
11-1217
20
5
3

Теперь исходную систему можно записать как:
x2 = [5 - ( - 45x3)]/35
x1 = [3 - ( - 12x2 + 17x3)]/11
Необходимо переменную x3 принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные.
Приравняем переменную x3 к 0
Из 2-ой строки выражаем x2

Из 3-ой строки выражаем x1

Второй метод решения. Запишем систему в виде расширенной матрицы:

1-34
21-1
11-1217
2
1
3

Для удобства вычислений поменяем строки местами:
11-1217
21-1
1-34
3
1
2

Работаем со столбцом №1
Умножим 2-ую строку на (k = -1 / 2 = -1/2) и добавим к 3-ой:

11 -12 17 3
2 1 -1 1
0 -7/2 9/2 3/2

Умножим 1-ую строку на (k = -2 / 11 = -2/11) и добавим к 2-ой:

11 -12 17 3
0 35/11 -45/11 5/11
0 -7/2 9/2 3/2

Работаем со столбцом №2
Умножим 2-ую строку на (k = 7/2 / 35/11 = 11/10) и добавим к 3-ой:

11 -12 17 3
0 35/11 -45/11 5/11
0 0 0 2

Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:
1-12/1117/11
01-9/7
000
3/11
1/7
2

Теперь исходную систему можно записать как:
x1 = 3/11 - ( - 12/11x2 + 17/11x3)
x2 = 1/7 - ( - 9/7x3)
3-ая строка является линейной комбинацией других строк.
Необходимо переменную x3 принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные.
Приравняем переменную x3 к 0
Из 2-ой строки выражаем x2

Из 1-ой строки выражаем x1

7. Найти О.Р. (общее решение) и Ф.С.Р. однородной СЛАУ:
.
Выпишем основную матрицу системы:

2-157
4275
2-11-5
x1x2x3x4

Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (2). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
0-439
4275
2-11-5

Умножим 3-ую строку на (-2). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0-439
04515
2-11-5

Добавим 2-ую строку к 1-ой:
00824
04515
2-11-5

Найдем ранг матрицы.
00824
04515
2-11-5

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), следовательно rang(A) = 3.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x1,x2,x3, значит, неизвестные x1,x2,x3 – зависимые (базисные), а x4 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
008-24
045-15
2-115

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
8x3 = - 24x4
4x2 + 5x3 = - 15x4
2x1 - x2 + x3 = 5x4
Методом исключения неизвестных находим нетривиальное решение:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x1,x2,x3 через свободные x4, то есть нашли общее решение:
x3 = - 3x4
x2 = 0
x1 = 4x4

8. Найти О.Р. (общее решение) неоднородной СЛАУ:
.
Решение. Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли. Выпишем расширенную и основную матрицы:

23123
46345
69567
812719
x1x2x3x4

Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (2). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
00-101
46345
69567
812719

В матрице B 1-й и 2-й столбцы пропорциональны. Из двух пропорциональных столбцов в базисный минор может попасть только один. Для системы это означает перенос членов с x1 в правую часть уравнений.

0 -1 0 1 0
6 3 4 5 -4
9 5 6 7 -6
12 7 1 9 -8
x2 x3 x4 x1

Умножим 2-ую строку на (9). Умножим 3-ую строку на (-6). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0-1010
0-3030
9567-6
12719-8

В матрице B 1-ая и 2-ая строки пропорциональны, следовательно, одну из них, например 1-ю, можно вычеркнуть. Это равносильно вычеркиванию 1-го уравнения системы, так как оно является следствием 2-го.
0-3030
9567-6
12719-8

Умножим 2-ую строку на (12). Умножим 3-ую строку на (-9). Добавим 3-ую строку к 2-ой:
0-3030
0-36330
12719-8

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:
00-6300
0-36330
12719-8

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x2,x3,x4, значит, неизвестные x2,x3,x4 – зависимые (базисные), а x1 – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.
00-6300
0-36330
12719-8

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
- 63x4 = 0
- 3x3 + 63x4 = 3
12x2 + 7x3 + x4 = 9 - 8x1
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x2,x3,x4 через свободные x1, то есть нашли общее решение:
x4 = 0
x3 = - 1
x2 = 1.33 - 0.67x1
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.

9. Найти собственные числа и собственные векторы матрицы
.
Решение. Исходная матрица имеет вид:

2-2
6-5

Составляем систему для определения координат собственных векторов:
(2 - λ)x1-2x2 = 0
6x1 + (-5 - λ)x2 = 0
Составляем характеристическое уравнение и решаем его.
2 - λ -2
6-5 - λ

Для этого находим определитель матрицы и приравниваем полученное выражение к нулю.
((2 - λ) • (-5 - λ)-6 • (-2)) = 0
После преобразований, получаем:
λ2 +3 λ + 2 = 0
D = 32 - 4 • 1 • 2 = 1


3x1-2y1 = 0
6x1-4y1 = 0
Собственный вектор, отвечающий числу λ1 = -1 при x1 = 2:

В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор:


или

Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ2 = -2, находим из системы:
4x1-2y1 = 0
6x1-3y1 = 0


или

10. Задана матрица A линейного преобразования в некотором базисе , , . Найдите матрицу этого преобразования в базисе , , , если :
,


Скачать решение

загрузка...