Метод Гаусса.
Запишем систему в виде:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Для удобства вычислений поменяем строки местами:

Умножим 4-ую строку на (-1). Добавим 4-ую строку к 3-ой:

Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Умножим 2-ую строку на (3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

Умножим 1-ую строку на (2). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

Необходимо переменную x4  принять в качестве свободной переменной и через нее выразить остальные переменные.
Приравняем переменную x4  к 0
Из 2-ой строки выражаем x3

Из 3-ой строки выражаем x2

Из 4-ой строки выражаем x1

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Гаусса
источник:
Метод Гаусса
Вместе с этой задачей решают также:
Метод Крамера
Метод обратной матрицы
Решения СЛАУ методом простой итерации
Решения СЛАУ методом простой Зейделя
Умножение матриц онлайн
По координатам пирамиды найти: уравнение плоскостей, уравнение прямых и объем пирамиды