Группы	x	Кол-во f	x * f	S	(x - x ср) * f	(x - x ср)2 * f	(x - x ср)3 * f	(x - x ср)4 * f	Частота	
0 - 29	14.5	1	14.5	1	25.6	655.36	-16777.22	429496.73	0.1	
29 - 33	31	0	0	1	0	0	0	0	0	
33 - 37	35	1	35	2	5.1	26.01	-132.65	676.52	0.1	
37 - 41	39	2	78	4	2.2	2.42	-2.66	2.93	0.2	
41 - 44	42.5	3	127.5	7	7.2	17.28	41.47	99.53	0.3	
44 - 48	46	1	46	8	5.9	34.81	205.38	1211.74	0.1	
48 - 52	50	2	100	10	19.8	196.02	1940.6	19211.92	0.2	
 	 	10	401	 	65.8	931.9	-14725.08	450699.37	1	

Показатели вариации.
Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели:
Показатели центра распределения.
Средняя взвешенная

Мода
Мода - наиболее часто встречающееся значение признака у единиц данной совокупности.

Выбираем в качестве начала интервала 41, так как именно на этот интервал приходится наибольшее количество

Наиболее часто встречающееся значение ряда – 42
Медиана
Медиана делит выборку на две части: половина вариант меньше медианы, половина — больше

Таким образом, 50% единиц совокупности будут меньше по величине 42
Квартили.
Квартили – это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 25% единиц совокупности будут меньше по величине Q1; 25% будут заключены между Q1 и Q2; 25% - между Q2 и Q3; остальные 25% превосходят Q3

Таким образом, 25% единиц совокупности будут меньше по величине 38
Q2 совпадает с медианой, Q2 = 42

Остальные 25% превосходят значение 46.
Квартильный коэффициент дифференциации.
k = Q1 / Q3
k = 38 / 46 = 0.83
Децили (децентили).
Децили – это значения признака в ранжированном ряду распределения, выбранные таким образом, что 10% единиц совокупности будут меньше по величине D1; 80% будут заключены между D1 и D9; остальные 10% превосходят D9

Таким образом, 10% единиц совокупности будут меньше по величине 29

Остальные 10% превосходят 50
Показатели вариации.
Абсолютные показатели вариации.
Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда.
R = Xmax - Xmin
R = 48 - 0 = 48
Среднее линейное отклонение - вычисляют для того, чтобы учесть различия всех единиц исследуемой совокупности.

Каждое значение ряда отличается от другого не более, чем на 6.58
Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего).

Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии.

Среднее квадратическое отклонение (средняя ошибка выборки).

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 40.1 не более, чем на 9.65
Оценка среднеквадратического отклонения.

Относительные показатели вариации.
К относительным показателям вариации относят: коэффициент осцилляции, линейный коэффициент вариации, относительное линейное отклонение.
Коэффициент вариации - мера относительного разброса значений совокупности: показывает, какую долю среднего значения этой величины составляет ее средний разброс.

Поскольку v ≤ 30%, то совокупность однородна, а вариация слабая. Полученным результатам можно доверять.
Линейный коэффициент вариации

Показатели формы распределения.
Коэффициент осцилляции - отражает относительную колеблемость крайних значений признака вокруг средней.

Относительное линейное отклонение - характеризует долю усредненного значения признака абсолютных отклонений от средней величины.

Относительный показатель квартильной вариации - 

Степень асимметрии
Симметричным является распределение, в котором частоты любых двух вариантов, равностоящих в обе стороны от центра распределения, равны между собой.

Отрицательный знак свидетельствует о наличии левосторонней асимметрии
Для симметричных распределений рассчитывается показатель эксцесса (островершинности). Эксцесс представляет собой выпад вершины эмпирического распределения вверх или вниз от вершины кривой нормального распределения.

Ex > 0  - островершинное распределение
Интервальное оценивание центра генеральной совокупности.
Доверительный интервал для генерального среднего.

Поскольку n ≤ 30, то определяем значение tkp по таблице распределения Стьюдента
По таблице Стьюдента находим Tтабл

Tтабл (n-1;α/2) = (9;0.05) = 1.833

(40.1 - 5.89;40.1 + 5.89) = (34.21;45.99)
С вероятностью 0.954 можно утверждать, что среднее значение при выборке большего объема не выйдет за пределы найденного интервала.
Доверительный интервал для дисперсии.
Вероятность выхода за нижнюю границу равна P(χ2n-1 < hH) = (1-γ)/2 = 0.05. Для количества степеней свободы k = 9, по таблице распределения хи-квадрат находим:
χ2(9;0.05) = 16.91898.
Случайная ошибка дисперсии:

Вероятность выхода за верхнюю границу равна P(χ2n-1 ≥ hB) = 1 - P(χ2n-1 < hH) = 1 - 0.05 = 0.95. Для количества степеней свободы k = 9, по таблице распределения хи-квадрат находим:
χ2(9;0.95) = 3.32511.
Случайная ошибка дисперсии:

(103.54 - 55.08; 103.54 + 280.26)
(48.46; 383.8)
Найдем верхнюю границу доверительного интервала для среднеквадратического отклонения с надежностью γ = 0.9.

P(χ2n-1 > hγ) = 0.9. Для количества степеней свободы k = 9, по таблице распределения хи-квадрат находим:
χ2(9;0.9) = 4.16816.
Случайная ошибка дисперсии:

Доверительный интервал для среднеквадратического отклонения.
Найдем доверительный интервал для среднеквадратического отклонения с надежностью γ = 0.9.
Нижняя ошибка среднеквадратического отклонения:

Верхняя ошибка среднеквадратического отклонения:

(10.18 - 7.42; 10.18 + 16.74)
(2.76; 17.6)
Найдем верхнюю границу доверительного интервала для среднеквадратического отклонения:

0 ≤ σ ≤ 14.95
Интервальное оценивание генеральной доли (вероятности события).
Доверительный интервал для генеральной доли.

Поскольку n ≤ 30, то определяем значение tkp по таблице распределения Стьюдента
По таблице Стьюдента находим Tтабл

Tтабл (n-1;α/2) = (9;0.05) = 1.833

Доля i-ой группы fi / ∑f	Средняя ошибка выборки для генеральной доли, ε	Нижняя граница доли, p* + ε	Верхняя граница доли, p* + ε	
0.1		0.0051	0.19	
0		0	0	
0.1		0.0051	0.19	
0.2		0.0735	0.33	
0.3		0.16	0.44	
0.1		0.0051	0.19	
0.2		0.0735	0.33	

С вероятностью 0.9 при большем объеме выборке эти доли будут находиться в заданных интервалах.
Для корректного изображения формул увеличьте ширину второго столбца.

Проверка гипотез о виде распределения.
1. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона.

где pi  — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону
Для вычисления вероятностей pi применим формулу и таблицу функции Лапласа

Интервалы группировки	Наблюдаемая частота ni	Ф(xi)	Ф(xi+1)	Вероятность pi попадания в i-й интервал	Ожидаемая частота npi	Слагаемые статистики Пирсона Ki	
0 - 29	1	0.36	0.5	0.14	1.36	0.0937	
29 - 33	0	0.26	0.36	0.11	1.06	1.06	
33 - 37	1	0.12	0.26	0.14	1.36	0.0966	
37 - 41	2	0.0359	0.12	0.0858	0.86	1.52	
41 - 44	3	0.15	0.0359	0.12	1.16	2.93	
44 - 48	1	0.28	0.15	0.13	1.31	0.0716	
48 - 52	2	0.38	0.28	0.0967	0.97	1.1	
 	10	 	 	 	 	6.88	

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение  Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы.
Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+∞).
Её границу Kkp = χ2(k-r-1;α) находим по таблицам распределения «хи-квадрат» и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры xcp и s оценены по выборке).
Kkp = 7.77944; Kнабл = 6.88
Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение.
2. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по закону Пуассона.

где pi  — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону; λ = xср.
i = 0: p0 = 0, np0 = 0
i = 1: p1 = 0, np1 = 0
i = 2: p2 = 0, np2 = 0
i = 3: p3 = 0, np3 = 0
i = 4: p4 = 0, np4 = 0
i = 5: p5 = 0, np5 = 0
i = 6: p6 = 0, np6 = 0
i = 7: 3=1 + 2
i = 7: 0=0 + 0

i	Наблюдаемая частота ni	pi	Ожидаемая частота npi	Слагаемые статистики Пирсона Ki	
0	1	0	0	0	
1	0	0	0	0	
2	1	0	0	0	
3	2	0	0	0	
4	3	0	0	0	
5	3	0	0	0	
0	10	0	0	0	

Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение  Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы.
Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+∞).
Её границу Kkp = χ2(k-r-1;α) находим по таблицам распределения «хи-квадрат» и заданным значениям s, k (число интервалов), r=1 (параметр λ).
Kkp = 9.23636; Kнабл = 0
Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют распределение Пуассона.

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Проверка гипотезы о виде распределения
Вместе с этой задачей решают также:
Метод аналитического выравнивания
Однофакторный дисперсионный анализ
Уравнение парной линейной регрессии