Таблица для расчета показателей. 

Группы	Середина интервала, xцентр	Кол-во, fi	xi * fi	Накопленная частота, S	|x - xср|*fi	(x - xср)2*fi	Частота, fi/f	
0.8 - 1	0.9	10	9	10	5.495	3.02	0.1	
1 - 1.2	1.1	12	13.2	22	4.194	1.466	0.12	
1.2 - 1.4	1.3	22	28.6	44	3.289	0.492	0.22	
1.4 - 1.6	1.5	26	39	70	1.313	0.0663	0.26	
1.6 - 1.8	1.7	18	30.6	88	4.509	1.13	0.18	
1.8 - 2	1.9	7	13.3	95	3.154	1.421	0.07	
2 - 2.5	2.25	5	11.25	100	4.003	3.204	0.05	
Итого	 	100	144.95	 	25.956	10.797	1	
Для оценки ряда распределения найдем следующие показатели: 

Показатели центра распределения. 
Средняя взвешенная (выборочная средняя) 

Показатели вариации. 
Абсолютные показатели вариации. 
Размах вариации - разность между максимальным и минимальным значениями признака первичного ряда. 
R = xmax - xmin = 2.5 - 0.8 = 1.7 
Дисперсия - характеризует меру разброса около ее среднего значения (мера рассеивания, т.е. отклонения от среднего). 

Несмещенная оценка дисперсии - состоятельная оценка дисперсии (исправленная дисперсия). 

Среднее квадратическое отклонение. 

Каждое значение ряда отличается от среднего значения 1.45 в среднем на 0.33 
Оценка среднеквадратического отклонения. 

Проверка гипотез о виде распределения. 
1. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по нормальному закону с помощью критерия согласия Пирсона. 

где pi  — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону 
Для вычисления вероятностей pi применим формулу и таблицу функции Лапласа 

где s = 0.33, xср = 1.45 
Теоретическая (ожидаемая) частота равна fi = fpi, где f = 100 

Интервалы группировки	Наблюдаемая частота fi	x1 = (xi - xср)/s	x2 = (xi+1 - xср)/s	Ф(x1)	Ф(x2)	Вероятность попадания в i-й интервал, pi = Ф(x2) - Ф(x1)	Ожидаемая частота, 100pi	Слагаемые статистики Пирсона, Ki	
0.8 - 1	10	-1.9667	-1.3611	-0.4756	-0.4147	0.0609	6.09	2.5103	
1 - 1.2	12	-1.3611	-0.7555	-0.4147	-0.2764	0.1383	13.83	0.2421	
1.2 - 1.4	22	-0.7555	-0.1499	-0.2764	-0.0596	0.2168	21.68	0.0047	
1.4 - 1.6	26	-0.1499	0.4557	-0.0596	0.1772	0.2368	23.68	0.2272	
1.6 - 1.8	18	0.4557	1.0613	0.1772	0.3577	0.1805	18.05	0.0001	
1.8 - 2	7	1.0613	1.6669	0.3577	0.4525	0.0948	9.48	0.6487	
2 - 2.5	5	1.6669	3.1809	0.4525	0.49931	0.04681	4.681	0.0217	
 	100	 	 	 	 	 	 	3.6548	
Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение  Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы. 
Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+∞). 
Её границу Kkp = χ2(k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ2 и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры xcp и s оценены по выборке). 
Kkp = χ2(7-2-1;0.05) = 9.48773; Kнабл = 3.65 
Наблюдаемое значение статистики Пирсона не попадает в критическую область: Кнабл < Kkp, поэтому нет оснований отвергать основную гипотезу. Справедливо предположение о том, что данные выборки имеют нормальное распределение. 

2. Проверим гипотезу о том, что Х распределено по закону Пуассона. 

где pi  — вероятность попадания в i-й интервал случайной величины, распределенной по гипотетическому закону. 
а) Находим по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю (xВ = 1.45). 
б) Принимаем в качестве оценки параметра λ распределения Пуассона выборочную среднюю xср = 1.45. Следовательно, предполагаемый закон Пуассона имеет вид: 

в) Найдем по формуле Пуассона вероятности Pi, появления ровно i событий в n испытаниях. Находим теоретические частоты по формуле npi 
i = 0: p0 = 0.23, np0 = 23.47 
i = 1: p1 = 0.34, np1 = 34.02 
i = 2: p2 = 0.25, np2 = 24.65 
i = 3: p3 = 0.12, np3 = 11.91 
i = 4: p4 = 0.0432, np4 = 4.32 
i = 5: p5 = 0.0125, np5 = 1.25 
i = 6: p6 = 0.00302, np6 = 0.3 
в) Вычисляем слагаемые статистики Пирсона по формуле (5 столбец таблицы): 

i	Наблюдаемая частота ni	pi	Ожидаемая частота npi	Слагаемые статистики Пирсона Ki	
0	10	0.2347	23.4688	7.73	
1	12	0.3402	34.018	14.251	
2	22	0.2465	24.6545	0.286	
3	26	0.1191	11.9122	16.661	
4	18	0.04317	4.3167	43.374	
5	7	0.01251	1.2514	26.407	
6	5	0.00302	0.3023	72.996	
 	100	 	 	181.704	
Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение  Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы. 
Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+∞). 
Её границу Kkp = χ2(k-r-1;α) находим по таблицам распределения γ2 и заданным значениям s, k (число интервалов), r=1 (параметр λ). 
Kkp(0.05;5) = 11.07050; Kнабл = 181.7 
Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены не по закону Пуассона. 

3. Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности. 
Для того чтобы при уровне значимости а проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо: 
1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю хcp. Для этого находят середину i-го интервала xcpi = (xi+xi+1)/2, составляют последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот. 
2. Принять в качестве оценки параметра Х показательного распределения величину, обратную выборочной средней: 

3. Найти вероятности попадания X в частичные интервалы (xi,xi+1) по формуле: 
Pi = P(xi < X < xi+1) = e-λxi - e-λxi+1 
4. Вычислить теоретические частоты: 
ni = n • Pi 
5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s-2, где s - число первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s - число интервалов, оставшихся после объединения. 
 Среднее значение равно 1.45. Следовательно, параметр λ = 1 / 1.45 = 0.69 
Таким образом, плотность предполагаемого показательного распределения имеет вид: 
f(x) = 0.69e-0.69x, x > 0 
Найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле: 
Pi = P(xi < X < xi+1) = e-λxi - e-λxi+1 
P1 = (0.8 < X < 1) = 0.5758 - 0.5016 = 0.07422, ni = 100 • 0.07422 = 7.42 
P2 = (1 < X < 1.2) = 0.5016 - 0.437 = 0.06465, ni = 100 • 0.06465 = 6.47 
P3 = (1.2 < X < 1.4) = 0.437 - 0.3807 = 0.05632, ni = 100 • 0.05632 = 5.63 
P4 = (1.4 < X < 1.6) = 0.3807 - 0.3316 = 0.04906, ni = 100 • 0.04906 = 4.91 
P5 = (1.6 < X < 1.8) = 0.3316 - 0.2889 = 0.04274, ni = 100 • 0.04274 = 4.27 
P6 = (1.8 < X < 2) = 0.2889 - 0.2516 = 0.03723, ni = 100 • 0.03723 = 3.72 
P7 = (2 < X < 2.5) = 0.2516 - 0.1782 = 0.07341, ni = 100 • 0.07341 = 7.34 
i	ni	n*i	ni - n*i	(ni - n*i)2	(ni - n*i)2/n*i	
1	10	7.4217	2.5783	6.6478	0.896	
2	12	6.4651	5.5349	30.6347	4.738	
3	22	5.6319	16.3681	267.9149	47.571	
4	26	4.906	21.094	444.9551	90.695	
5	18	4.2737	13.7263	188.4103	44.086	
6	7	3.7229	3.2771	10.7392	2.885	
7	5	7.3412	-2.3412	5.4811	0.747	
Итого	100	 	 	 	191.617	
Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение  Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы. 
Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+∞). 
Её границу Kkp = χ2(k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ2 и заданным значениям s, k (число интервалов), r=1 (параметр λ). 
Kkp(5,0.05) = 11.07050; Kнабл = 191.62 
Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены не по показательному закону. 

4. Проверка гипотезы о равномерном распределении генеральной совокупности. 
Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении X,т.е. по закону: f(x) = 1/(b-a) в интервале (a,b) 
надо: 
1. Оценить параметры a и b - концы интервала, в котором наблюдались возможные значения X, по формулам (через знак * обозначены оценки параметров): 

2. Найти плотность вероятности предполагаемого распределения f(x) = 1/(b* - a*) 
3. Найти теоретические частоты: 
n1 = nP1 = n[f(x)*(x1 - a*)] = n*1/(b* - a*)*(x1 - a*) 
n2 = n3 = ... = ns-1 = n*1/(b* - a*)*(xi - xi-1) 
ns = n*1/(b* - a*)*(b* - xs-1) 
4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы k = s-3, где s - число первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s - число интервалов, оставшихся после объединения. 
 Решение: 
1. Найдем оценки параметров a* и b* равномерного распределения по формулам: 

2. Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения: 
f(x) = 1/(b* - a*) = 1/(2.02 - 0.88) = 0.879 
3. Найдем теоретические частоты: 
n1 = n*f(x)(x1 - a*) = 100 * 0.879(1-0.88) = 10.51 
n7 = n*f(x)(b* - x6) = 100 * 0.879(2.02-2) = 1.64 
Остальные ns будут равны: ns = n*f(x)(xi - xi-1) 
i	ni	n*i	ni - n*i	(ni - n*i)2	(ni - n*i)2/n*i	
1	10	10.5108	-0.5108	0.261	0.02483	
2	12	17.5703	-5.5703	31.0278	1.7659	
3	22	17.5703	4.4297	19.6226	1.1168	
4	26	17.5703	8.4297	71.0605	4.0444	
5	18	17.5703	0.4297	0.1847	0.01051	
6	7	17.5703	-10.5703	111.7305	6.3591	
7	5	1.6378	3.3622	11.3041	6.9018	
Итого	100	 	 	 	20.2233	
Определим границу критической области. Так как статистика Пирсона измеряет разницу между эмпирическим и теоретическим распределениями, то чем больше ее наблюдаемое значение  Kнабл, тем сильнее довод против основной гипотезы. 
Поэтому критическая область для этой статистики всегда правосторонняя: [Kkp;+∞). 
Её границу Kkp = χ2(k-r-1;α) находим по таблицам распределения χ2 и заданным значениям s, k (число интервалов), r=2 (параметры a и b). 
Kkp(4,0.05) = 9.48773; Kнабл = 20.22 
Наблюдаемое значение статистики Пирсона попадает в критическую область: Кнабл > Kkp, поэтому есть основания отвергать основную гипотезу. Данные выборки распределены не по равномерному закону. 

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса: 
Проверка гипотезы о виде распределения 
Вместе с этой задачей решают также: 
Доверительный интервал 
Корреляционная таблица 
Уравнение парной линейной регрессии 
Решение задач по статистике онлайн 
Теория вероятностей онлайн 
Наивероятнейшее число событий 
Заказать контрольную работу