Доверительный интервал. Руководство к решению


Задание №1: Ниже приведены данные по затратам на бурение (у.е.) для 49 скважин Западно-Сибирской нефтяной базы России:
129 1421326196961421713532
77 583713279151456483120
11 544810043256725140130
48 1242910713510193147112121
89 976084461394314529

В целях оценки затрат на бурение новой скважины:

  1. провести выборку собственно случайным способом объемом n=5;
  2. определить интервальные значения среднего генеральной совокупности (X) по рассчитанным выборочным показателям (X, s2) с помощью функции t-распределения Стьюдента при уровне значимости α=0.05;
  3. определить точечное значение среднего генеральной совокупности (X) по исходным данным;
  4. оценить правильность интервальных расчетов, сравнивая точечное значение (X) с интервальным значением, рассчитанным по выборке;
  5. по всем расчетам сделать выводы.

Решение:


Для нахождения интервальных оценок используется сервис «Доверительный интервал».

1. Выбираем 5 значений из таблицы. Пусть это будет 3 столбец: 132, 37, 48, 29, 60.
В разделе «Вид статистического ряда» выбираем Дискретный ряд. В поле Количество строк указываем 5.

2. Вводим исходные данные.

В поле Количество групп выбираем пункт «не делать группировку».

Поле «Доверительный интервал генерального среднего, дисперсия и среднеквадратическое отклонения» указываем значение γ = 0.95 (что соответствует α=0.05).

В поле «Выборка» указываем значение 10 (поскольку из 49 значений выбрали 5, что соответствует 10,2% (5/49x100%)).

В разделе «Выводит в отчет» отмечаем первый пункт «Доверительный интервал для генерального среднего».

Нажимаем кнопку Далее.

3. Полученное решение сохраняется в формате Word (скачать).
Перед расчетами создается предварительная таблица, в которой подсчитывается количество повторений значений Х.

x

(x - x ср)2

Количество повторений x

29

1036.84

1

37

585.64

1

48

174.24

1

60

1.44

1

132

5012.64

1

306

6810.8

В данном случае все значения X встречаются ровно один раз. Интервальные значения среднего генеральной совокупности рассчитываются в разделе «Интервальное оценивание центра генеральной совокупности».
Примечание: в данном случае в расчетах используется Оценка среднеквадратического отклонения.

Задание №2: В целях изучения затрат времени на изготовление одной детали рабочими завода проведена 10%-ная случайная бесповторная выборка, в результате которой получено распределение деталей по затратам времени, представленное в прил. Б.
На основании этих данных вычислите:
а) средние затраты времени на изготовление одной детали;
б) средний квадрат отклонений (дисперсию) и среднее квадратическое отклонение;
в) коэффициент вариации;
г) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной средней и возможные границы, в которых ожидаются средние затраты времени на изготовление одной детали на заводе;
д) с вероятностью 0,954 предельную ошибку выборочной доли и границы удельного веса числа деталей с минимальными затратами времени на их изготовление. Перед тем как производить расчеты, необходимо записать условия задачи и заполнить табл. 2.1

Решение.
Для получения решения указываем следующие параметры:

  • Вид статистического ряда: Задан дискретный ряд;
  • Количество групп: не делать группировку;
  • Для построения доверительного интервала генерального среднего, дисперсии и среднеквадратического отклонения: y=0.954;
  • Для построения доверительного интервала генеральной доли: y=0.954;
  • Выборка: 10;
  • Выводить в отчет: Доверительный интервал для генерального среднего, Доверительный интервал для генеральной доли;

Задание №3: Используя результаты расчетов, выполненных в задании №2 и полагая, что эти данные получены при помощи повторного отбора, определить:
а) пределы, за которые в генеральной совокупности не выйдет значение доли предприятий, у которых индивидуальные значения признака превышают моду с доверительной вероятностью 0.954;
б) как изменить объем выборки, чтобы снизить предельную ошибку доли на 20%.

Решение.
Используя результаты расчетов, выполненных в задании № 2 и полагая, что эти данные получены при помощи повторного отбора, определить:
а) пределы, за которые в генеральной совокупности не выйдет значение доли предприятий, у которых индивидуальные значения признака превышают моду с доверительной вероятностью 0.954;
б) как изменить объем выборки, чтобы снизить предельную ошибку доли на 20%.

Задание №4: Из партии электроламп взята 20%-ная случайная бесповторная выборка для определения среднего веса спирали. Результаты выборки следующие. Вес, мг:38-40;40-42;42-44;44-46. Число спиралей:15;30;45;10. Определить с вероятностью 0.95 доверительные пределы, в которых лежит средний вес спирали, для всей партии электроламп.

Решение.
Вводим следующие параметры:

  • Вид статистический ряда: Задан интервальный ряд;
  • Для построения доверительного интервала генерального среднего, дисперсии и среднеквадратического отклонения: y = 0.95;
  • Выборка: 20;
  • Выводить в отчет: Доверительный интервал для генерального среднего.

Задание №5: На заводе электроламп из партии продукции в количестве 16000 шт. ламп взято на выборку 1600 шт. (случайный, бесповторный отбор), из которых 40 шт. оказались бракованными. Определить с вероятностью 0.997 пределы, в которых будет находиться процент брака для всей партии продукции.

Решение.
Здесь N = 16000, n = 1600, w = d / n = 40/1600 = 0.025.

Методические указания

Расхождение между значениями показателей, полученных по выборке, и соответствующими параметрами генеральной совокупности называется ошибкой репрезентативности.
Обозначения основных параметров генеральной и выборочной совокупности
Характеристики Генеральная совокупность Выборочная совокупность

Объем совокупности (численность единиц)
N n
Численность единиц, обладающих обследуемым качеством (признаком)Mm

Доля единиц, обладающих обследуемым качеством (признаком), выборочная доля

Расчет средней ошибки выборки при случайном отборе

Формулы средней ошибки выборки
повторный отборбесповторный отбор
для средней для долидля средней для доли

Соотношение между пределом ошибки выборки (∆), гарантируемым с некоторой вероятностью Р(t), и средней ошибкой выборки имеет вид: или ∆=t·μ, где t – коэффициент доверия, определяемый в зависимости от уровня вероятности Р(t) по таблице интегральной функции Лапласа.

Формулы расчета численности выборки при собственно-случайном способе отбора

Способ отбора Формулы определения численности выборки
для средней для доли
Повторный
Бесповторный
загрузка...