Распределение Пуассона

При рассмотрении маловероятных событий, имеющих место в большой серии независимых испытаний некоторое (конечное) число раз, вероятности появления этих событий подчиняются закону Пуассона или закону редких событий , где λ равна среднему числу появления событий в одинаковых независимых испытаниях, т.е. λ = n × p, где p – вероятность события при одном испытании, e = 2,71828, m -частота данного события, математическое ожидание M[X] равно λ.

Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

X 0 1 2 m
P e λe

Числовые характеристики случайной величины Х

Математическое ожидание распределения Пуассона
M[X] = λ

Дисперсия распределения Пуассона
D[X] = λ

Закон Пуассона можно применять для совокупностей, достаточно больших по объему (n > 100) и имеющих достаточно малую долю единиц, обладающих данным признаком (p < 0,1).
При этом распределение Пуассона можно применить, когда на только не известно значение n – общего числа возможных результатов, но и когда не известно конечное число, которое n может представлять. Там, где есть среднее число случаев наступления события, вероятность наступления события описывается членами разложения:
.
Поэтому соответствующие вероятности равны:

Поэтому, если среднее число землетрясений равно одному в месяц, то m=1 и вероятность случаев в месяц будет следующей, рассчитанной по приблизительному значению e-m=0,3679:

Число случаев Вероятность Приблизительный числовой эквивалент
0 e-m 0,3679
1 me-m 0,3679
2 e-m 0,1839
3 e-m 0,0613

Пример. В результате проверки 1000 партий одинаковых изделий получено следующее распределение количества бракованных изделий в партии:

Количество брака, m1 0 1 2 3 4 Итого
Количество партий, содержащих данное число бракованных изделий, fi 604 306 77 12 1 1000

Определим среднее число бракованных изделий в партии:
.
Находим теоретические частоты закона Пуассона:

Эмпирически и найденное теоретическое распределение Пуассона:

604 306 77 12 1
606 303 76 13 2

Сопоставление свидетельствует о соответствии эмпирического распределения распределению Пуассона.

Перейти к онлайн решению своей задачи

см. также как проверить, распределен ли ряд по закону Пуассона.

загрузка...