Нормальное распределение

В статистике широко используются различные виды теоретических распределений – нормальное распределение, биномиальное распределение, распределение Пуассона и др. Чаще всего в качестве теоретического распределения используется нормальное распределение.
Если непрерывная случайная величина имеет плотность распределения:

то она подчиняется закону нормального распределения, где e и π – математические постоянные (e ≈ 2,7182; π ≈ 3,1415); x – варианты вариационного ряда; xср – их средняя величина; σ – среднее квадратическое отклонение.

Нормальное распределение полностью определяется двумя параметрами – средней арифметической и средним квадратическим отклонением σ.
Если обозначим то величину назовем нормированной функцией. Эта функция табулирована.
Для нормированной случайной величины t математическое ожидание равно нулю, а дисперсия равна единице. Определенный интеграл вида носит название нормированной функции Лапласа и характеризует площадь под кривой в промежутке от 0 до t.

Чтобы оценить вероятность попадания в интервал от 0 до x, рассчитаем:
.

Для определения вероятности попадания нормально распределенной случайной величины x в заданный интервал (x1; x2) находим разность , т.е. ,

где .

Пример. x~N(2,1). Найти P(1 ≤ x ≤ 4).
Решение. Здесь xср = 2, σ = 1. Тогда t1 = (1-2)/1 = -1; t2 = (4-2)/1 = 2.
P(1 ≤ x ≤ 4) = Ф(2) - Ф(-1) = Ф(2) + Ф(1). По таблице Лапласа находим: Ф(2) = 0.4772; Ф(1) = 0.3413.
P(1 ≤ x ≤ 4) = 0.4772 + 0.3413 = 0.8185

Говорят, что случайная величина X имеет нормальное распределение с параметрами α и σ, если ее плотность распределения задается формулой:

Параметр σ характеризует положение графика функции на числовой оси, параметр σ(σ > 0) — степень сжатия или растяжения графика плотности (рис. 2).

Рис. 2. Плотность нормального распределения
Математическое ожидание нормально распределенной случайной величины равно M(X)=α, дисперсия D(X)=σ2.
Нормальное распределение относится к числу наиболее распространенных и важных, оно применяется для приближенного описания многих случайных явлений. Например, с помощью нормального распределения описывают рассеяние снарядов при стрельбе по цели; отклонение фактического размера изделия от заданного; оно применяется и во многих других ситуациях, когда на интересующий нас признак действует большое количество независимых случайных факторов.

Особенности кривой нормального распределения

  1. кривая симметрична относительно максимальной ординаты, которая соответствует = Mo = Me, ее величина равна xср;
  2. кривая асимптотически приближается к оси абсцисс, продолжаясь в обе стороны до бесконечности. При этом, чем больше значения отклоняются от , тем реже они встречаются;
  3. равновероятны одинаковые по абсолютному значению, но противоположные по знаку отклонения значений переменной x от ;
  4. кривая имеет две точки перегиба, находящиеся на расстоянии ±s от ;
  5. при = const с увеличением s кривая становится более пологой. При s= const с изменением кривая не меняет свою форму, а лишь сдвигается вправо или влево по оси абсцисс;
  6. в промежутке ±s (при t=1) находится 68,3 % всех значений признака; в промежутке ±2s (при t=2) находится 95,4 % всех значений признака; в промежутке ±3s (при t=3) – 99,7 % всех значений признака.

Значения Fx1 и Fx2 определяются по таблицам интегральной функции Лапласа. Оценка вероятности попадания случайной величины в интервал p определяется разностью Fx2 – Fx1. Теоретическая частота fi¢=pi×n.
загрузка...