Показатели вариации

Назначение сервиса. С помощью сервиса в онлайн режиме определяются следующие показатели:
  • средняя взвешенная, дисперсия, среднеквадратическое отклонение, мода, медиана, размах вариации;
  • квартили, децили, квартильный коэффициент дифференциации, линейный коэффициент вариации, коэффициент вариации;
  • среднее линейное отклонение, коэффициент осцилляции.

Инструкция. Чтобы рассчитать показатели вариации, выберите вид ряда, укажите количество исходных данных. Полученное решение сохраняется в файле Word (Подробнее). Если предварительно требуется сгруппировать ряд (т.е. построить вариационный ряд), то необходимо воспользоваться онлайн-калькулятором Группировка.

Вид статистического ряда
Пример
X
3.45
3.89
5.00
3.00
2.56
1.71
3.34
4.21
4.85
Дискретный ряд
Пример
Xi - Xi+1f
до 205
20-2510
25-3040
30-3570
35-4090
40-4530
45-5015
свыше 5010
Итого270
Интервальный ряд
Пример
Xf
205
2510
3040
3570
4090
4530
5015
6010
Итого270
Вариационный ряд

Количество строк
Проверка гипотезы о виде распределения ряда осуществляется через калькулятор Изучение формы распределения ряда.

Типы вариации

Вариация – колеблемость или изменяемость величин признака у единиц совокупности.
Под вариацией в пространстве понимается колеблемость значений признака по отдельным территориям.
Под вариацией во времени подразумевают изменение значений признака в различные моменты времени. Так, со временем изменяются средняя продолжительность жизни, мнения людей и т.д.

Классификация показателей вариации

  1. К абсолютным показателям вариации относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднеквадратическое отклонение. Вторая группа показателей вычисляется, как отношение абсолютных показателей к средней арифметической (медиане).
  2. Относительными показателями вариации являются коэффициенты осцилляции, вариации, относительное линейное отклонение и др.
ПоказательФормула
Средняя арифметическая простая
Средняя арифметическая взвешеннаяСредняя арифметическая взвешенная
Средняя гармоническая простаяСредняя гармоническая простая
Средняя гармоническая взвешеннаяСредняя гармоническая взвешенная
МодаМода в статистике
МедианаМедиана
Размах вариацииРазмах вариации
Среднее линейное отклонение; Среднее линейное отклонение
Дисперсия; Дисперсия
Среднее квадратическое отклонениеСреднее квадратическое отклонение
Коэффициент вариацииКоэффициент вариации
Коэффициент осцилляцииКоэффициент осцилляции
Линейный коэффициент вариацииЛинейный коэффициент вариации

Числовые характеристики вариационного ряда

Числовые характеристики вариационных рядов вычисляют по данным, полученным в результате наблюдений (статистическим данным), поэтому их называют также статистическими характеристиками или оценками. На практике часто оказывается достаточным знание сводных характеристик вариационных рядов: средних или характеристик положения (центральной тенденции); характеристик рассеяния или вариации (изменчивости); характеристик формы (асимметрии и крутости распределения).
Самой известной и наиболее употребляемой характеристикой любого вариационного ряда является его средняя арифметическая, называемая также выборочным средним. Средняя арифметическая характеризует значения признака, вокруг которого концентрируются наблюдения, т.е. центральную тенденцию распределения. В статистическом анализе кроме средней арифметической, называемой аналитической средней, широко применяют структурные, или порядковые, средние, к которым относятся медиана и мода.
Достоинство медианы как меры центральной тенденции заключается в том, что на нее не влияет изменение крайних членов вариационного ряда, если любой из них, меньший медианы, остается меньше ее, а любой, больший медианы, продолжает быть большее ее. Медиана предпочтительнее средней арифметической для ряда, у которого крайние варианты по сравнению с остальными оказались чрезмерно большими или малыми. Особенность моды как меры центральной тенденции заключается в том, что она также не изменяется при изменении крайних членов ряда, т.е. обладает определенной устойчивостью к вариации признака.

Таблица - Числовые характеристики вариационного ряда

Характеристики положения Среднее арифметическое (выборочное среднее)
Мода Mo = xj, если mj = mmax
Медиана Me = xk+1, если n = 2k+1;
Me = (xk + xk+1)/2, еслиn = 2k
Характеристики рассеяния
Выборочная дисперсия
Выборочное среднее квадратичное отклонение
Исправленная дисперсия
Исправленное среднее квадратичное отклонение

Коэффициент вариации
Среднее абсолютное отклонение
Вариационный размах R = xmax - xmin
Квартильный размах RQ = Qв – Qн
Характеристики формы Коэффициент асимметрии
Коэффициент эксцесса

Для получения полного представления о вариационном ряде (определив центральную тенденцию распределения с помощью характеристик положения) далее оценивают рассеяние (вариацию, изменчивость) исследуемого признака вокруг этих величин. Простейшим и, весьма приближенным показателем вариации (изменчивости), является вариационный размах. Размах вариации наиболее полезен, если нужен быстрый и общий взгляд на изменчивость при сравнении большого количества выборок.
Но наибольший интерес представляют меры вариации (рассеяния) наблюдений вокруг средних величин, в частности, вокруг средней арифметической. К таким оценкам относятся выборочная дисперсия и среднее квадратичное отклонение. Выборочная дисперсия обладает одним существенным недостатком: если среднее арифметическое выражается в тех же единицах, что и значения случайной величины, то, согласно определению, дисперсия выражается уже в квадратных единицах. Этого недостатка можно избежать, если использовать в качестве меры вариации признака среднее квадратичное отклонение. При малых объемах выборки дисперсия является смещенной оценкой, поэтому при объемах n30 используют исправленную дисперсию и исправленное среднее квадратичное отклонение.
Другой часто используемой характеристикой меры рассеяния признака является коэффициент вариации. Достоинством коэффициента вариации является то, что это безразмерная характеристика, позволяющая сравнивать варьирование несоизмеримых вариационных рядов. Кроме того, чем меньше значение коэффициента вариации, тем однороднее совокупность по изучаемому признаку и типичнее средняя. Совокупности с коэффициентом вариации V> 30-35% принято считать неоднородными.
Наряду с дисперсией используют и среднее абсолютное отклонение. Достоинством среднего линейного отклонения является его размерность, т.к. выражается в тех же единицах, что и значения случайной величины. Дополнительным и простым показателем рассеяния значений признака является квартильный размах. Квартильный размах включает в себя медиану и 50% наблюдений, отражающих центральную тенденцию признака, исключая наименьшие и наибольшие значения.
К характеристикам формы относят коэффициент асимметрии и эксцесс. Если коэффициент асимметрии равен нулю, то распределение имеет симметричную форму. Если распределение асимметрично, одна из ветвей полигона частот имеет более пологий спуск, чем другая. Если асимметрия правосторонняя, то справедливо неравенство:,что означает преимущественное появление в распределении более высоких значений признака. Если асимметрия левосторонняя, то выполняется неравенство: , означающее, что в распределении чаще встречаются более низкие значения. Чем больше значение коэффициента асимметрии, тем более асимметрично распределение (до 0,25 асимметрия незначительная; от 0,25 до 0,5 умеренная; свыше 0,5 – существенная).
Эксцесс является показателем крутости (островершинности) вариационного ряда по сравнению с нормальным распределением. Если эксцесс положителен, то полигон вариационного ряда имеет более крутую вершину. Это говорит о скоплении значений признака в центральной зоне ряда распределения, т.е. о преимущественном появлении в данных значений, близких к средней величине. Если эксцесс отрицателен - то полигон имеет более пологую вершину по сравнению с нормальной кривой. Это означает, что значения признака не концентрируются в центральной части ряда, а достаточно равномерно рассеяны по всему диапазону от минимального до максимального значения. Чем больше абсолютная величина эксцесса, тем существеннее распределение отличается от нормального.

Принципы определения показателей вариации

Для ранжированного ряда показатели вариации определяются по простым формулам (например, средняя величина определяется по формуле средней арифметической простой). Для вариационных рядов показатели вариации определяются по агрегатным формулам (с использованием частот). В этом случае показатели вариации являются взвешенными (например, взвешенная средняя).
загрузка...