Критические точки распределения Χ2

Пусть U1, U2, ..,Uk — независимые стандартные нормальные величины. Распределение случайной величины K = U12+U22 + .. + Uk2 называется распределением «хи-квадрат» с k степенями свободы (пишут K~χ2(k)). Это унимодальное распределение с положительной асимметрией и следующими характеристиками: мода M=k-2 математическое ожидание m=k дисперсия D=2k (рис.). При достаточно большом значении параметра k распределение χ2(k) имеет приближенно нормальное распределение с параметрами

При решении задач математической статистики используются критические точки χ2(k) зависящие от заданной вероятности α и числа степеней свободы k (приложение 2). Критическая точка Χ2кр2(k; α) является границей области, правее которой лежит 100- α % площади под кривой плотности распределения. Вероятность того, что значение случайной величины K~χ2(k)при испытаниях попадет правее точки χ2(k) не превышает α P(K≥χ2kp)≤ α). Например, для случайной величины K~χ2(20) зададим вероятность α=0.05. По таблице критических точек распределения «хи-квадрат» (таблицы) находим χ2kp = χ2(20;0.05)=31.4. Значит, вероятность этой случайной величине K принять значение, большее 31.4, меньше 0.05 (рис.).

Рис. График плотности распределения χ2(k)при различных значениях числа степеней свободы k

Критические точки χ2(k) используются в следующих калькуляторах:

  1. Проверка гипотезы о виде распределения.
  2. Коэффициент контингенции.
  3. Коэффициент конкордации.
  4. Проверка наличия мультиколлинеарности (о мультиколлинеарности).
Проверка гипотезы при помощи Хи-квадрат даст ответ исключительно на вопрос «имеется ли связь?», для проверки направления связи необходимо дальнейшее исследование. Более того, критерий Хи-квадрат дает определенную ошибку при работе с низкочастотными данными.

Поэтому для проверки направления связи выбирается корреляционный анализ, в частности проверка гипотезы при помощи коэффициента корреляции Пирсона с дальнейшей проверкой на достоверность при помощи t-критерия.

Для любого значения уровня значимости α Χ2 можно найти с помощью функции MS Excel: =ХИ2ОБР(α;степеней свободы)

n-1 .995 .990 .975 .950 .900 .750 .500 .250 .100 .050 .025 .010 .005
1 0.00004 0.00016 0.00098 0.00393 0.01579 0.10153 0.45494 1.32330 2.70554 3.84146 5.02389 6.63490 7.87944
2 0.01003 0.02010 0.05064 0.10259 0.21072 0.57536 1.38629 2.77259 4.60517 5.99146 7.37776 9.21034 10.59663
3 0.07172 0.11483 0.21580 0.35185 0.58437 1.21253 2.36597 4.10834 6.25139 7.81473 9.34840 11.34487 12.83816
4 0.20699 0.29711 0.48442 0.71072 1.06362 1.92256 3.35669 5.38527 7.77944 9.48773 11.14329 13.27670 14.86026
5 0.41174 0.55430 0.83121 1.14548 1.61031 2.67460 4.35146 6.62568 9.23636 11.07050 12.83250 15.08627 16.74960
6 0.67573 0.87209 1.23734 1.63538 2.20413 3.45460 5.34812 7.84080 10.64464 12.59159 14.44938 16.81189 18.54758
7 0.98926 1.23904 1.68987 2.16735 2.83311 4.25485 6.34581 9.03715 12.01704 14.06714 16.01276 18.47531 20.27774
8 1.34441 1.64650 2.17973 2.73264 3.48954 5.07064 7.34412 10.21885 13.36157 15.50731 17.53455 20.09024 21.95495
9 1.73493 2.08790 2.70039 3.32511 4.16816 5.89883 8.34283 11.38875 14.68366 16.91898 19.02277 21.66599 23.58935
10 2.15586 2.55821 3.24697 3.94030 4.86518 6.73720 9.34182 12.54886 15.98718 18.30704 20.48318 23.20925 25.18818
11 2.60322 3.05348 3.81575 4.57481 5.57778 7.58414 10.34100 13.70069 17.27501 19.67514 21.92005 24.72497 26.75685
12 3.07382 3.57057 4.40379 5.22603 6.30380 8.43842 11.34032 14.84540 18.54935 21.02607 23.33666 26.21697 28.29952
13 3.56503 4.10692 5.00875 5.89186 7.04150 9.29907 12.33976 15.98391 19.81193 22.36203 24.73560 27.68825 29.81947
14 4.07467 4.66043 5.62873 6.57063 7.78953 10.16531 13.33927 17.11693 21.06414 23.68479 26.11895 29.14124 31.31935
15 4.60092 5.22935 6.26214 7.26094 8.54676 11.03654 14.33886 18.24509 22.30713 24.99579 27.48839 30.57791 32.80132
16 5.14221 5.81221 6.90766 7.96165 9.31224 11.91222 15.33850 19.36886 23.54183 26.29623 28.84535 31.99993 34.26719
17 5.69722 6.40776 7.56419 8.67176 10.08519 12.79193 16.33818 20.48868 24.76904 27.58711 30.19101 33.40866 35.71847
18 6.26480 7.01491 8.23075 9.39046 10.86494 13.67529 17.33790 21.60489 25.98942 28.86930 31.52638 34.80531 37.15645
19 6.84397 7.63273 8.90652 10.11701 11.65091 14.56200 18.33765 22.71781 27.20357 30.14353 32.85233 36.19087 38.58226
20 7.43384 8.26040 9.59078 10.85081 12.44261 15.45177 19.33743 23.82769 28.41198 31.41043 34.16961 37.56623 39.99685
21 8.03365 8.89720 10.28290 11.59131 13.23960 16.34438 20.33723 24.93478 29.61509 32.67057 35.47888 38.93217 41.40106
22 8.64272 9.54249 10.98232 12.33801 14.04149 17.23962 21.33704 26.03927 30.81328 33.92444 36.78071 40.28936 42.79565
23 9.26042 10.19572 11.68855 13.09051 14.84796 18.13730 22.33688 27.14134 32.00690 35.17246 38.07563 41.63840 44.18128
24 9.88623 10.85636 12.40115 13.84843 15.65868 19.03725 23.33673 28.24115 33.19624 36.41503 39.36408 42.97982 45.55851
25 10.51965 11.52398 13.11972 14.61141 16.47341 19.93934 24.33659 29.33885 34.38159 37.65248 40.64647 44.31410 46.92789
26 11.16024 12.19815 13.84390 15.37916 17.29188 20.84343 25.33646 30.43457 35.56317 38.88514 41.92317 45.64168 48.28988
27 11.80759 12.87850 14.57338 16.15140 18.11390 21.74940 26.33634 31.52841 36.74122 40.11327 43.19451 46.96294 49.64492
28 12.46134 13.56471 15.30786 16.92788 18.93924 22.65716 27.33623 32.62049 37.91592 41.33714 44.46079 48.27824 50.99338
29 13.12115 14.25645 16.04707 17.70837 19.76774 23.56659 28.33613 33.71091 39.08747 42.55697 45.72229 49.58788 52.33562
30 13.78672 14.95346 16.79077 18.49266 20.59923 24.47761 29.33603 34.79974 40.25602 43.77297 46.97924 50.89218 53.67196
Число степеней свободы k

Уровень значимости a

0,01 0,025 0.05 0,95 0,975 0.99
1

6.6 5.0 3.8 0.0039 0.00098 0.00016
2 9.2 7.4 6.0 0.103 0.051 0.020
3 11.3 9.4 7.8 0.352 0.216 0.115
4 13.3 11.1 9.5 0.711 0.484 0.297
5 15.1 12.8 11.1 1.15 0.831 0.554
6 16.8 14.4 12.6 1.64 1.24 0.872
7 18.5 16.0 14.1 2.17 1.69 1.24
8 20.1 17.5 15.5 2.73 2.18 1.65
9 21.7 19.0 16.9 3.33 2.70 2.09
10 23.2 20.5 18.3 3.94 3.25 2.56
11 24.7 21.9 19.7 4.57 3.82 3.05
12 26.2 23.3 21 .0 5.23 4.40 3.57
13 27.7 24.7 22.4 5.89 5.01 4.11
14 29.1 26.1 23.7 6.57 5.63 4.66
15 30.6 27.5 25.0 7.26 6.26 5.23
16 32.0 28.8 26.3 7.96 6.91 5.81
17 33.4 30.2 27.6 8.67 7.56 6.41
18 34.8 31.5 28.9 9.39 8.23 7.01
19 36.2 32.9 30.1 10.1 8.91 7.63
20 37.6 34.2 31.4 10.9 9.59 8.26
21 38.9 35.5 32.7 11.6 10.3 8.90
22 40.3 36.8 33.9 12.3 11.0 9.54
23 41.6 38.1 35.2 13.1 11.7 10.2
24 43.0 39.4 36.4 13.8 12.4 10.9
25 44.3 40.6 37.7 14.6 13.1 11.5
26 45.6 41.9 38.9 15.4 13.8 12.2
27 47.0 43.2 40.1 16.2 14.6 12.9
28 48.3 44.5 41.3 16.9 15.3 13.6
29 49.6 45.7 42.6 17.7 16.0 14.3
30 50.9 47.0 43.8 18.5 16.8 15.0
загрузка...