Вычисление определителя разложением по строкам

Задание №1. Вычислить определитель третьего порядка разложением по строкам.
Решение.

Пример. Рассмотрим все виды разложений по строкам: по первой, по второй и по третьей. Запишем матрицу в виде:

A =
23-1
321
-203

Минор для (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

23-1
3 2 1
-2 0 3

Получаем:
1,1 =
21
03

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = (2 • 3-0 • 1) = 6
Минор для (1,2):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 2-й столбец.

23-1
32 1
-20 3

Получаем:
2,1 =
31
-23

Найдем определитель для этого минора.
1,2 = (3 • 3-(-2 • 1)) = 11
Минор для (1,3):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 3-й столбец.

23-1
3 21
-2 03

Получаем:
3,1 =
32
-20

Найдем определитель для этого минора.
1,3 = (3 • 0-(-2 • 2)) = 4
Определитель исходной матрицы равен ∆ = (2 • 6-3 • 11+(-1 • 4)) = -25

Теперь разложим матрицу по второй строке. Значение определителя матрицы не должно измениться.
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

2 3 -1
321
-2 0 3

Получаем:
1,1 =
3-1
03

Найдем определитель для этого минора.
2,1 = (3 • 3-0 • (-1)) = 9
Минор для (2,2):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 2-й столбец.

23 -1
321
-20 3

Получаем:
2,1 =
2-1
-23

Найдем определитель для этого минора.
2,2 = (2 • 3-(-2 • (-1))) = 4
Минор для (2,3):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 3-й столбец.

2 3-1
321
-2 03

Получаем:
3,1 =
23
-20

Найдем определитель для этого минора.
2,3 = (2 • 0-(-2 • 3)) = 6
Главный определитель: ∆ = (3 • 9-2 • 4+1 • 6) = -25
Скачать решение

Покажем, как происходит разложение по третьей строке. Значение определителя матрицы не должно измениться. Итак, минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

2 3 -1
3 2 1
-203

Получаем:
1,1 =
3-1
21

Найдем определитель для этого минора.
3,1 = (3 • 1-2 • (-1)) = 5
Минор для (3,2):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 2-й столбец.

23 -1
32 1
-203

Получаем:
2,1 =
2-1
31

Найдем определитель для этого минора.
3,2 = (2 • 1-3 • (-1)) = 5
Минор для (3,3):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 3-й столбец.

2 3-1
3 21
-203

Получаем:
3,1 =
23
32

Найдем определитель для этого минора.
3,3 = (2 • 2-3 • 3) = -5
В итоге, главный определитель матрицы равен ∆ = (-2 • 5-0 • 5+3 • (-5)) = -25

Выводы. Как видим, значение определителя матрицы не зависит от способа его вычисления.

Пример №2. Является ли система арифметических векторов e1=(9;6;0),e2=(6;16;18),e3=(0;-10;-15) линейно независимой? Ответ обоснуйте.
Решение. Находим определитель матрицы. Если он отличен от нуля, то система, составленная из векторов, линейно независима. Если определитель равен нулю, система является линейно зависимой.

загрузка...