Как находить решение СЛАУ через формулы Крамера

Пример №1. Решение находим с помощью калькулятора. Запишем систему в виде:
A =
123
456
780

BT = (6,9,-6)
Главный определитель:
∆ = 1 • (5 • 0-8 • 6)-4 • (2 • 0-8 • 3)+7 • (2 • 6-5 • 3) = 27 = 27
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
1 =
623
956
-680

Найдем определитель полученной матрицы.
1 = 6 • (5 • 0-8 • 6)-9 • (2 • 0-8 • 3)+(-6 • (2 • 6-5 • 3)) = -54
x_{1} = {-54}/{27} = -2
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
2 =
163
496
7-60

Найдем определитель полученной матрицы.
2 = 1 • (9 • 0-(-6 • 6))-4 • (6 • 0-(-6 • 3))+7 • (6 • 6-9 • 3) = 27
x_{2} = {27}/{27} = 1
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
3 =
126
459
78-6

Найдем определитель полученной матрицы.
3 = 1 • (5 • (-6)-8 • 9)-4 • (2 • (-6)-8 • 6)+7 • (2 • 9-5 • 6) = 54
x_{3} = {54}/{27} = 2
Выпишем отдельно найденные переменные Х
x_{1} = {-54}/{27} = -2
x_{2} = {27}/{27} = 1
x_{3} = {54}/{27} = 2
Проверка.
1•-2+2•1+3•2 = 6
4•-2+5•1+6•2 = 9
7•-2+8•1+0•2 = -6

Пример №2. Запишем систему в виде:

A =
2-112-5
1-1-50
3-2-2-5
7-5-9-1

BT = (1,0,3,-4)
Найдем главный определитель:
Минор для (1,1):
1,1 =
-1-50
-2-2-5
-5-9-1

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = -1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-(-2 • (-5 • (-1)-(-9 • 0)))+(-5 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))) = -72
Минор для (2,1):
2,1 =
-112-5
-2-2-5
-5-9-1

Найдем определитель для этого минора.
2,1 = -1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-(-2 • (12 • (-1)-(-9 • (-5))))+(-5 • (12 • (-5)-(-2 • (-5)))) = 279
Минор для (3,1):
3,1 =
-112-5
-1-50
-5-9-1

Найдем определитель для этого минора.
3,1 = -1 • (-5 • (-1)-(-9 • 0))-(-1 • (12 • (-1)-(-9 • (-5))))+(-5 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = 63
Минор для (4,1):
4,1 =
-112-5
-1-50
-2-2-5

Найдем определитель для этого минора.
4,1 = -1 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))-(-1 • (12 • (-5)-(-2 • (-5))))+(-2 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = -45
Главный определитель:
∆ = 2 • (-72)-1 • 279+3 • 63-7 • (-45) = 81
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
1 =
1-112-5
0-1-50
3-2-2-5
-4-5-9-1

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
1,1 =
-1-50
-2-2-5
-5-9-1

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = -1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-(-2 • (-5 • (-1)-(-9 • 0)))+(-5 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))) = -72
Минор для (2,1):
2,1 =
-112-5
-2-2-5
-5-9-1

Найдем определитель для этого минора.
2,1 = -1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-(-2 • (12 • (-1)-(-9 • (-5))))+(-5 • (12 • (-5)-(-2 • (-5)))) = 279
Минор для (3,1):
3,1 =
-112-5
-1-50
-5-9-1

Найдем определитель для этого минора.
3,1 = -1 • (-5 • (-1)-(-9 • 0))-(-1 • (12 • (-1)-(-9 • (-5))))+(-5 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = 63
Минор для (4,1):
4,1 =
-112-5
-1-50
-2-2-5

Найдем определитель для этого минора.
4,1 = -1 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))-(-1 • (12 • (-5)-(-2 • (-5))))+(-2 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = -45
Определитель минора:
1 = 1 • (-72)-0 • 279+3 • 63-(-4 • (-45))
x_{1} = {-63}/{81} = -0.78
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
2 =
2112-5
10-50
33-2-5
7-4-9-1

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
1,1 =
0-50
3-2-5
-4-9-1

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = 0 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-3 • (-5 • (-1)-(-9 • 0))+(-4 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))) = -115
Минор для (2,1):
2,1 =
112-5
3-2-5
-4-9-1

Найдем определитель для этого минора.
2,1 = 1 • (-2 • (-1)-(-9 • (-5)))-3 • (12 • (-1)-(-9 • (-5)))+(-4 • (12 • (-5)-(-2 • (-5)))) = 408
Минор для (3,1):
3,1 =
112-5
0-50
-4-9-1

Найдем определитель для этого минора.
3,1 = 1 • (-5 • (-1)-(-9 • 0))-0 • (12 • (-1)-(-9 • (-5)))+(-4 • (12 • 0-(-5 • (-5)))) = 105
Минор для (4,1):
4,1 =
112-5
0-50
3-2-5

Найдем определитель для этого минора.
4,1 = 1 • (-5 • (-5)-(-2 • 0))-0 • (12 • (-5)-(-2 • (-5)))+3 • (12 • 0-(-5 • (-5))) = -50
Определитель минора:
2 = 2 • (-115)-1 • 408+3 • 105-7 • (-50)
x_{2} = {27}/{81} = 0.33
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
3 =
2-11-5
1-100
3-23-5
7-5-4-1

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
1,1 =
-100
-23-5
-5-4-1

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = -1 • (3 • (-1)-(-4 • (-5)))-(-2 • (0 • (-1)-(-4 • 0)))+(-5 • (0 • (-5)-3 • 0)) = 23
Минор для (2,1):
2,1 =
-11-5
-23-5
-5-4-1

Найдем определитель для этого минора.
2,1 = -1 • (3 • (-1)-(-4 • (-5)))-(-2 • (1 • (-1)-(-4 • (-5))))+(-5 • (1 • (-5)-3 • (-5))) = -69
Минор для (3,1):
3,1 =
-11-5
-100
-5-4-1

Найдем определитель для этого минора.
3,1 = -1 • (0 • (-1)-(-4 • 0))-(-1 • (1 • (-1)-(-4 • (-5))))+(-5 • (1 • 0-0 • (-5))) = -21
Минор для (4,1):
4,1 =
-11-5
-100
-23-5

Найдем определитель для этого минора.
4,1 = -1 • (0 • (-5)-3 • 0)-(-1 • (1 • (-5)-3 • (-5)))+(-2 • (1 • 0-0 • (-5))) = 10
Определитель минора:
3 = 2 • 23-1 • (-69)+3 • (-21)-7 • 10
x_{3} = {-18}/{81} = -0.22
Заменим 4-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
4 =
2-1121
1-1-50
3-2-23
7-5-9-4

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):
1,1 =
-1-50
-2-23
-5-9-4

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = -1 • (-2 • (-4)-(-9 • 3))-(-2 • (-5 • (-4)-(-9 • 0)))+(-5 • (-5 • 3-(-2 • 0))) = 80
Минор для (2,1):
2,1 =
-1121
-2-23
-5-9-4

Найдем определитель для этого минора.
2,1 = -1 • (-2 • (-4)-(-9 • 3))-(-2 • (12 • (-4)-(-9 • 1)))+(-5 • (12 • 3-(-2 • 1))) = -303
Минор для (3,1):
3,1 =
-1121
-1-50
-5-9-4

Найдем определитель для этого минора.
3,1 = -1 • (-5 • (-4)-(-9 • 0))-(-1 • (12 • (-4)-(-9 • 1)))+(-5 • (12 • 0-(-5 • 1))) = -84
Минор для (4,1):
4,1 =
-1121
-1-50
-2-23

Найдем определитель для этого минора.
4,1 = -1 • (-5 • 3-(-2 • 0))-(-1 • (12 • 3-(-2 • 1)))+(-2 • (12 • 0-(-5 • 1))) = 43
Определитель минора:
4 = 2 • 80-1 • (-303)+3 • (-84)-7 • 43
x_{4} = {-90}/{81} = -1.11
Выпишем отдельно найденные переменные Х
x_{1} = {-63}/{81} = -0.78
x_{2} = {27}/{81} = 0.33
x_{3} = {-18}/{81} = -0.22
x_{4} = {-90}/{81} = -1.11
Проверка.
2•-0.78+-1•0.33+12•-0.22+-5•-1.11 = 1
1•-0.78+-1•0.33+-5•-0.22+0•-1.11 = 0
3•-0.78+-2•0.33+-2•-0.22+-5•-1.11 = 3
7•-0.78+-5•0.33+-9•-0.22+-1•-1.11 = -4

Пример №3. Запишем систему в виде:

A =
21-1
1-22
311

BT = (-1,-3,-8)
Главный определитель:
∆ = 2 • (-2 • 1-1 • 2)-1 • (1 • 1-1 • (-1))+3 • (1 • 2-(-2 • (-1))) = -10 = -10
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
1 =
-11-1
-3-22
-811

Найдем определитель полученной матрицы.
1 = -1 • (-2 • 1-1 • 2)-(-3 • (1 • 1-1 • (-1)))+(-8 • (1 • 2-(-2 • (-1)))) = 10
x_{1} = {10}/{-10} = -1
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
2 =
2-1-1
1-32
3-81

Найдем определитель полученной матрицы.
2 = 2 • (-3 • 1-(-8 • 2))-1 • (-1 • 1-(-8 • (-1)))+3 • (-1 • 2-(-3 • (-1))) = 20
x_{2} = {20}/{-10} = -2
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
3 =
21-1
1-2-3
31-8

Найдем определитель полученной матрицы.
3 = 2 • (-2 • (-8)-1 • (-3))-1 • (1 • (-8)-1 • (-1))+3 • (1 • (-3)-(-2 • (-1))) = 30
x_{3} = {30}/{-10} = -3
Выпишем отдельно найденные переменные Х
x_{1} = {10}/{-10} = -1
x_{2} = {20}/{-10} = -2
x_{3} = {30}/{-10} = -3
Проверка.
2•-1+1•-2+-1•-3 = -1
1•-1+-2•-2+2•-3 = -3
3•-1+1•-2+1•-3 = -8

Пример №4. Запишем систему в виде:

A =
1-11
43-2
2-15

BT = (0,-4,11)
Главный определитель:
∆ = 1 • (3 • 5-(-1 • (-2)))-4 • (-1 • 5-(-1 • 1))+2 • (-1 • (-2)-3 • 1) = 27 = 27
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
1 =
0-11
-43-2
11-15

Найдем определитель полученной матрицы.
1 = 0 • (3 • 5-(-1 • (-2)))-(-4 • (-1 • 5-(-1 • 1)))+11 • (-1 • (-2)-3 • 1) = -27
x_{1} = {-27}/{27} = -1
Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
2 =
101
4-4-2
2115

Найдем определитель полученной матрицы.
2 = 1 • (-4 • 5-11 • (-2))-4 • (0 • 5-11 • 1)+2 • (0 • (-2)-(-4 • 1)) = 54
x_{2} = {54}/{27} = 2
Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В.
3 =
1-10
43-4
2-111

Найдем определитель полученной матрицы.
3 = 1 • (3 • 11-(-1 • (-4)))-4 • (-1 • 11-(-1 • 0))+2 • (-1 • (-4)-3 • 0) = 81
x_{3} = {81}/{27} = 3
Выпишем отдельно найденные переменные Х
x_{1} = {-27}/{27} = -1
x_{2} = {54}/{27} = 2
x_{3} = {81}/{27} = 3
Проверка.
1•-1+-1•2+1•3 = 0
4•-1+3•2+-2•3 = -4
2•-1+-1•2+5•3 = 11

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Метод Крамера
Вместе с этой задачей решают также:
Метод Гаусса
Обратная матрица методом Жордано-Гаусса
Метод обратной матрицы
Решения СЛАУ методом простой итерации
Решения СЛАУ методом простой Зейделя
Умножение матриц онлайн
По координатам пирамиды найти: уравнение плоскостей, уравнение прямых и объем пирамиды

Пример №5. Запишем матрицу в виде:

A =
122
2-21
31-1

Главный определитель:
∆ = 1 • (-2 • (-1)-1 • 1)-2 • (2 • (-1)-1 • 2)+3 • (2 • 1-(-2 • 2)) = 27

Пример №6. При решении системы линейных уравнений с квадратной матрицей коэффициентов А можно применять формулы Крамера, если:

загрузка...