Вычисление определителя разложением по столбцу

Задание №1. Вычислить определитель третьего порядка разложением по столбцу.
Решение находим с помощью калькулятора.
Запишем матрицу в виде:
A =
2-10
-12-1
0-11

Найдем определитель, использовав разложение по столбцам:
Минор для (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

2 -1 0
-1 2 -1
0 -1 1

Получаем:
1,1 =
2-1
-11

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = (2 • 1-(-1 • (-1))) = 1
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

2 -1 0
-1 2 -1
0 -1 1

Получаем:
2,1 =
-10
-11

Найдем определитель для этого минора.
2,1 = (-1 • 1-(-1 • 0)) = -1
Минор для (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

2 -1 0
-1 2 -1
0 -1 1

Получаем:
3,1 =
-10
2-1

Найдем определитель для этого минора.
3,1 = (-1 • (-1)-2 • 0) = 1
Главный определитель:
∆ = (2 • 1-(-1 • (-1))+0 • 1) = 1

Задание №2. Вычислить определитель четвертого порядка.
Решение.
Исходную матрицу запишем в виде:

A =
0111
1011
1110
1110

Найдем определитель, использовав разложение по столбцам:
Вычисляем минор для элемента, находящегося на пересечении первого столбца и первой строки (1,1):
Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.

0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 1 0
1 1 1 0

Получаем:
1,1 =
011
110
110

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = 0 • (1 • 0-1 • 0)-1 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 0-1 • 1) = 0
Минор для (2,1):
Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.

0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 1 0
1 1 1 0

Получаем:
2,1 =
111
110
110

Найдем определитель для этого минора.
2,1 = 1 • (1 • 0-1 • 0)-1 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 0-1 • 1) = 0
Вычисляем минор для элемента, находящегося на пересечении первого столбца и третьей строки (3,1):
Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.

0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 1 0
1 1 1 0

Получаем:
3,1 =
111
011
110

Найдем определитель для этого минора.
3,1 = 1 • (1 • 0-1 • 1)-0 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 1-1 • 1) = -1
Минор для (4,1):
Вычеркиваем из матрицы 4-ю строку и 1-й столбец.

0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 1 0
1 1 1 0

Получаем:
4,1 =
111
011
110

Найдем определитель для этого минора.
4,1 = 1 • (1 • 0-1 • 1)-0 • (1 • 0-1 • 1)+1 • (1 • 1-1 • 1) = -1
В итоге основной определитель находим как:
∆ = (0 • 0-1 • 0+1 • (-1)-1 • (-1)) = 0

Примеры:
B = a11•a22•a33 - a11•a32•a23 - a12•a21•a33 + a12•a31•a23 + a13•a21•a32 - a13•a31•a22
Три слагаемых, входящих в сумму со знаком «плюс», находятся следующим образом: одно слагаемое состоит из произведения элементов, расположенных на главной диагонали, два других – произведения элементов, лежащих на параллели к этой диагонали с добавлением третьего множителя из противоположного угла.
Слагаемые, входящие в со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали.

145
0-25
002,5
=

= 1•(-2)•2.5 - 1•5•0 - 0•4•2.5 + 0•5•0 + 0•4•5 - 0•5•(-2) = -5
загрузка...