Определитель матрицы

Определитель равен сумме произведений элементов какой-нибудь строки или столбца на их алгебраические дополнения, т.е. Формула определителя, где i0 – фиксировано.
Выражение (*) называют разложением определителя D по элементам строки с номером i0.

Назначение сервиса. Данный сервис предназначен для нахождения определителя матрицы в онлайн режиме с оформлением всего хода решения в формате Word. Дополнительно создается шаблон решения в Excel.

Инструкция. Выберите размерность матрицы, нажмите Далее.
Размерность матрицы
Вместе с этим калькулятором также используют следующие:

Алгоритм нахождения определителя

  1. Для матриц порядка n=2 определитель вычисляется по формуле: Δ=a11*a22-a12*a21
  2. Для матриц порядка n=3 определитель вычисляется через алгебраические дополнения или методом Саррюса.
  3. Матрица, имеющая размерность больше трех, раскладывается на алгебраические дополнения, для которых вычисляются свои определители (миноры). Например, определитель матрицы 4 порядка находится через разложение по строкам или столбцам (см. пример).

Для вычисления определителя, содержащего в матрице функции, применяются стандартные методы. Например, вычислить определитель матрицы 3 порядка:
определитель содержит в матрице функции
Используем прием разложения по первой строке.
Δ = sin(x)×[cos(x)×2 – 0×tg(x)] + 1×[1×0-2×cos(x)] = 2sin(x)cos(x)-2cos(x) = sin(2x)-2cos(x)

Методы вычислений определителей

Нахождение определителя через алгебраические дополнения является распространенным методом. Его упрощенным вариантом является вычисление определителя правилом Саррюса. Однако при большой размерности матрицы, используют следующие методы:
  1. вычисление определителя методом понижения порядка
  2. вычисление определителя методом Гаусса (через приведение матрицы к треугольному виду).
  3. вычисление определителя методом декомпозиции.

В Excel для расчета определителя используется функция =МОПРЕД(диапазон ячеек).

Прикладное использование определителей

Вычисляют определители, как правило, для конкретной системы, заданной в виде квадратной матрицы. Рассмотрим некоторые виды задач на нахождение определителя матрицы.
  1. Решение СЛАУ. Если определитель системы не равен нулю (Δ ≠ 0), система имеет решение.
  2. При вычислении ранга матрицы также требуется наличие минора (текущего определителя для i-ой строки и j-го столбца), не равного нулю.
  3. Алгоритм нахождения обратной матрицы включает расчет определителя: если определитель равен нулю, обратной матрицы не существует.
  4. Определитель используется при вычислении площади треугольника: Площадь треугольника.
  5. Значение определителя служить оценкой при максимизации удельного показателя перевозок.
  6. По знаку определителя устанавливают вид функции (выпуклая или вогнутая) при расчете матрицы Гессе.
  7. Отношение определителей корреляционных матриц позволяет находить множественный коэффициент корреляции и коэффициент детерминации.
Иногда требуется найти неизвестный параметр a, при котором определитель равнялся бы нулю. Для этого необходимо составить уравнение определителя (например, по правилу треугольников) и, приравняв его к 0, вычислить параметр a.
112
3a1
10-2
Используем разложение по первой строке:
Δ = 1(a*(-2)-0*1) -1(3*(-2)-1*1) + 2(3*0-1*a) = -2a+7-2a = -4a+7 = 0. Откуда a=7/4

Пример. Найти определитель матрицы:

A =
10-2
321
12-2

Найдем определитель, использовав разложение по столбцам (по первому столбцу):
Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы первую строку и первый столбец.
10-2
3 2 1
1 2 -2

Получаем:
1,1 =
21
2-2

Найдем определитель для этого минора. 1,1 = (2 • (-2)-2 • 1) = -6.

Определим минор для (2,1): для этого вычеркиваем из матрицы вторую строку и первый столбец.

1 0 -2
321
1 2 -2
Получаем:
2,1 =
0-2
2-2
Найдем определитель для этого минора.2,1 = (0 • (-2)-2 • (-2)) = 4. Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
1 0 -2
3 2 1
12-2

Получаем:
3,1 =
0-2
21

Найдем определитель для этого минора.3,1 = (0 • 1-2 • (-2)) = 4
Главный определитель равен: ∆ = (1 • (-6)-3 • 4+1 • 4) = -14

Найдем определитель, использовав разложение по строкам (по первой строке):
Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы первую строку и первый столбец.

10-2
3 2 1
1 2 -2

Получаем:
1,1 =
21
2-2

Найдем определитель для этого минора.1,1 = (2 • (-2)-2 • 1) = -6. Минор для (1,2): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 2-й столбец.
10-2
32 1
12 -2
Получаем:
2,1 =
31
1-2
Вычислим определитель для этого минора.1,2 = (3 • (-2)-1 • 1) = -7. И чтобы найти минор для (1,3) вычеркиваем из матрицы первую строку и третий столбец.
10-2
3 21
1 2-2

Получаем:
3,1 =
32
12
Найдем определитель для этого минора. 1,3 = (3 • 2-1 • 2) = 4
Находим главный определитель: ∆ = (1 • (-6)-0 • (-7)+(-2 • 4)) = -14
загрузка...