Вычисление определителей

Пусть имеется квадратная матрица A размером n x n.
Определение. Определителем называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки матрицы A. Если в каждом таком произведении (члене определителя) множители расположены в порядке следования столбцов (т.е. вторые индексы элементов aij в произведении расположены в порядке возрастания), то со знаком (+) берутся те произведения, у которых перестановка первых индексов чётная, а со знаком (-) – те, ­ у которых она нечетная.

Здесь [i1, i2, …, in ] - число инверсий в перестановке индексов i1, i2, …, in.

Методы нахождения определителей

  1. Определитель матрицы разложением по строкам и столбцам через миноры.
  2. Определитель матрицы методом треугольников
  3. Определитель матрицы методом понижения порядка
  4. Определитель методом приведения к треугольному виду (методом Гаусса)
  5. Определитель матрицы методом декомпозиции

Свойство определителей

  1. При транспонировании матрицы её определитель не меняется.
  2. Если поменять местами две строки или два столбца определителя, то определитель изменит знак, а по абсолютной величине не изменится.
  3. Пусть C = AB где A и B квадратные матрицы. Тогда detC = detA ∙ detB .
  4. Определитель с двумя одинаковыми строками или с двумя одинаковыми столбцами равен 0. Если все элементы некоторой строки или столбца равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
  5. Определитель с двумя пропорциональными строками или столбцами равен 0.
  6. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов стоящих на главной диагонали.
  7. Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.
  8. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы) кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором - вторые слагаемые.
  9. Теорема Якоби: Если к элементам некоторого столбца определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольный множитель λ, то величина определителя не изменится.
Таким образом, определитель матрицы остается без изменения, если:
  • транспонировать матрицу;
  • прибавить к какой-либо строке другую строку, умноженную на любое число.

Задание 1. Вычислить определитель, разлагая его по строке или столбцу.
Решение:xml:xls
Пример 1:xml:xls

Перейти к онлайн решению своей задачи

Задание 2. Вычислить определитель двумя способами: а) по правилу «треугольников»; б) разложением по строке.

Решение.
а) Слагаемые, входящие в со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали.

221
-104
-220
=
= 2•0•0 - 2•4•2 - (-1)•2•0 + (-1)•1•2 + (-2)•2•4 - (-2)•1•0 = -34
б) Запишем матрицу в виде:
A =
221
-104
-220

Главный определитель:
∆ = 2 • (0 • 0-2 • 4)-(-1 • (2 • 0-2 • 1))+(-2 • (2 • 4-0 • 1)) = -34

Задание 3. Укажите, чему равен определитель квадратной матрицы A четвертого порядка, если ее ранг r(A)=1.
Ответ: det(A) = 0.

загрузка...