Определитель матрицы
Найти определитель матрицы
Решить онлайн
Примеры решений Ранг матрицы Обратная матрица Метод Гаусса Производная онлайн Определитель матрицы Экстремум функции Линейная алгебра онлайн Правило Саррюса Метод обратной матрицы

Вычисление определителей

Пусть имеется квадратная матрица A размером n x n.
Определение. Определителем называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки матрицы A. Если в каждом таком произведении (члене определителя) множители расположены в порядке следования столбцов (т.е. вторые индексы элементов aij в произведении расположены в порядке возрастания), то со знаком (+) берутся те произведения, у которых перестановка первых индексов чётная, а со знаком (-) – те, ­ у которых она нечетная.
Здесь [i1, i2, …, in ] - число инверсий в перестановке индексов i1, i2, …, in.

Методы нахождения определителей

  1. Определитель матрицы разложением по строкам и столбцам через миноры.
  2. Определитель матрицы методом треугольников
  3. Определитель матрицы методом понижения порядка
  4. Определитель методом приведения к треугольному виду (методом Гаусса)
  5. Определитель матрицы методом декомпозиции

Свойство определителей

  1. При транспонировании матрицы её определитель не меняется.
  2. Если поменять местами две строки или два столбца определителя, то определитель изменит знак, а по абсолютной величине не изменится.
  3. Пусть C = AB где A и B квадратные матрицы. Тогда detC = detA ∙ detB .
  4. Определитель с двумя одинаковыми строками или с двумя одинаковыми столбцами равен 0. Если все элементы некоторой строки или столбца равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
  5. Определитель с двумя пропорциональными строками или столбцами равен 0.
  6. Определитель треугольной матрицы равен произведению диагональных элементов. Определитель диагональной матрицы равен произведению элементов стоящих на главной диагонали.
  7. Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и то же число, то определитель умножится на это число.
  8. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы) кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором - вторые слагаемые.
  9. Теорема Якоби: Если к элементам некоторого столбца определителя прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на произвольный множитель λ, то величина определителя не изменится.
Таким образом, определитель матрицы остается без изменения, если:

Задание 1. Вычислить определитель, разлагая его по строке или столбцу.
Решение в MS Word. Решение в MS Excel.
Пример 2 в MS Word. Решение в xls.

Перейти к онлайн решению

Задание 2. Вычислить определитель двумя способами: а) по правилу «треугольников»; б) разложением по строке.

Решение.
а) Слагаемые, входящие в со знаком «минус», строятся таким же образом относительно побочной диагонали.

221
-104
-220
=
= 2•0•0 - 2•4•2 - (-1)•2•0 + (-1)•1•2 + (-2)•2•4 - (-2)•1•0 = -34
б) Запишем матрицу в виде:
A =
221
-104
-220
Главный определитель:
∆ = 2 • (0 • 0-2 • 4)-(-1 • (2 • 0-2 • 1))+(-2 • (2 • 4-0 • 1)) = -34

Задание 3. Укажите, чему равен определитель квадратной матрицы A четвертого порядка, если ее ранг r(A)=1.
Ответ: det(A) = 0.

Матрицы
Действия над матрицами: умножение, сложение, вычитание
Действия над матрицами
Решить онлайн
Экстремумы функции
Найти минимальное и максимальное значение функции
наибольшее и наименьшее значение функции
Решить онлайн
Эллипс
d1d2A2A1B1B2F2F1
Как построить эллипс. Каноническое уравнение эллипса
Решить онлайн
Курсовые на заказ