Вычисление определителей методом Гаусса

Применим метод Гаусса для вычисления определителя ∆. При решении системы уравнений:
Ax = b

методом Гаусса мы путём преобразования по схеме единственного деления привели её к треугольному виду:
B x = β,

где   
Определитель detB = 1.
Элементы матрицы B получились из матрицы A с помощью следующих элементарных преобразований:
1) деления на ведущие элементы a11 матрицы A ,  матрицы ,..., матрицы An-1.
2) вычитания из строк матрицы A и промежуточных матриц  чисел, пропорциональных элементам соответствующих ведущих строк.
При первой операции определитель матрицы также делится на соответствующий ведущий элемент, т.е.
.
Следовательно:
Определитель методом Гаусса,
т.е. определитель равен произведению ведущих элементов для соответствующей схемы Гаусса.
При второй операции определитель не изменится.

Перейти к онлайн решению своей задачи

Пример. Данную матрицу свести к треугольной и найти определитель.

2 6 5 3 2
-1 3 0 1 -2
6 5 4 0 2
0 1 5 3 -2
5 3 0 1 0

Работаем со столбцом №1
Добавим 5-ую строку к 4-ой:

2 6 5 3 2
-1 3 0 1 -2
6 5 4 0 2
5 4 5 4 -2
5 3 0 1 0

Умножим 4-ую строку на (k = -5 / 5 = -1) и добавим к 5-ой:

2 6 5 3 2
-1 3 0 1 -2
6 5 4 0 2
5 4 5 4 -2
0 -1 -5 -3 2

Умножим 3-ую строку на (k = -5 / 6 = -5/6) и добавим к 4-ой:

2 6 5 3 2
-1 3 0 1 -2
6 5 4 0 2
0 -1/6 5/3 4 -11/3
0 -1 -5 -3 2

Умножим 2-ую строку на (k = 6 / 1 = 6) и добавим к 3-ой:

2 6 5 3 2
-1 3 0 1 -2
0 23 4 6 -10
0 -1/6 5/3 4 -11/3
0 -1 -5 -3 2

Умножим 1-ую строку на (k = 1 / 2 = 1/2) и добавим к 2-ой:

2 6 5 3 2
0 6 5/2 5/2 -1
0 23 4 6 -10
0 -1/6 5/3 4 -11/3
0 -1 -5 -3 2

Работаем со столбцом №2
Умножим 4-ую строку на (k = -1 / 1/6 = -6) и добавим к 5-ой:

2 6 5 3 2
0 6 5/2 5/2 -1
0 23 4 6 -10
0 -1/6 5/3 4 -11/3
0 0 -15 -27 24

Умножим 3-ую строку на (k = 1/6 / 23 = 1/138) и добавим к 4-ой:

2 6 5 3 2
0 6 5/2 5/2 -1
0 23 4 6 -10
0 0 39/23 93/23 -86/23
0 0 -15 -27 24

Умножим 2-ую строку на (k = -23 / 6 = -23/6) и добавим к 3-ой:

2 6 5 3 2
0 6 5/2 5/2 -1
0 0 -67/12 -43/12 -37/6
0 0 39/23 93/23 -86/23
0 0 -15 -27 24

Работаем со столбцом №3
Умножим 4-ую строку на (k = 15 / 39/23 = 115/13) и добавим к 5-ой:

2 6 5 3 2
0 6 5/2 5/2 -1
0 0 -67/12 -43/12 -37/6
0 0 39/23 93/23 -86/23
0 0 0 114/13 -118/13

Умножим 3-ую строку на (k = 39/23 / 67/12 = 468/1541) и добавим к 4-ой:

2 6 5 3 2
0 6 5/2 5/2 -1
0 0 -67/12 -43/12 -37/6
0 0 0 198/67 -376/67
0 0 0 114/13 -118/13

Работаем со столбцом №4
Умножим 4-ую строку на (k = -114/13 / 198/67 = -1273/429) и добавим к 5-ой:

2 6 5 3 2
0 6 5/2 5/2 -1
0 0 -67/12 -43/12 -37/6
0 0 0 198/67 -376/67
0 0 0 0 250/33

Ранг матрицы равен r=5
Определитель матрицы ∆ = 2 • 6 • (-67/12) • 198/67250/33 = -1500
загрузка...