Пример решения методом Крамера

Задание. Дана система линейных уравнений. Найти неизвестные xi методом Крамера.
2 x 1 + 5x2 + 4x3+ x4= 20
x 1 + 3x2 + 2x3+ x4= 11
2 x 1 + 10x2 + 9x3+ 9x4= 40
3 x 1 + 8x2 + 9x3+ 2x4= 37

Решение находим с помощью калькулятора. Запишем систему в виде:

BT = (20,11,40,37)
Найдем главный определитель:
Минор для (1,1):

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = 3∙(9∙2-9∙9)-10∙(2∙2-9∙1)+8∙(2∙9-9∙1)= -67
Минор для (2,1):

Найдем определитель для этого минора.
2,1 = 5∙(9∙2-9∙9)-10∙(4∙2-9∙1)+8∙(4∙9-9∙1)= -89
Минор для (3,1):

Найдем определитель для этого минора.
3,1 = 5∙(2∙2-9∙1)-3∙(4∙2-9∙1)+8∙(4∙1-2∙1)= -6
Минор для (4,1):

Найдем определитель для этого минора.
4,1 = 5∙(2∙9-9∙1)-3∙(4∙9-9∙1)+10∙(4∙1-2∙1)= -16
Главный определитель:
∆ = 2∙(-67)-1∙(-89)+2∙(-6)-3∙(-16) = -9
Заменим 1-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = 3∙(9∙2-9∙9)-10∙(2∙2-9∙1)+8∙(2∙9-9∙1)= -67
Минор для (2,1):

Найдем определитель для этого минора.
2,1 = 5∙(9∙2-9∙9)-10∙(4∙2-9∙1)+8∙(4∙9-9∙1)= -89
Минор для (3,1):

Найдем определитель для этого минора.
3,1 = 5∙(2∙2-9∙1)-3∙(4∙2-9∙1)+8∙(4∙1-2∙1)= -6
Минор для (4,1):

Найдем определитель для этого минора.
4,1 = 5∙(2∙9-9∙1)-3∙(4∙9-9∙1)+10∙(4∙1-2∙1)= -16
Определитель минора:
1 = 20∙(-67)-11∙(-89)+40∙(-6)-37∙(-16)

Заменим 2-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = 11∙(9∙2-9∙9)-40∙(2∙2-9∙1)+37∙(2∙9-9∙1)= -160
Минор для (2,1):

Найдем определитель для этого минора.
2,1 = 20∙(9∙2-9∙9)-40∙(4∙2-9∙1)+37∙(4∙9-9∙1)= -221
Минор для (3,1):

Найдем определитель для этого минора.
3,1 = 20∙(2∙2-9∙1)-11∙(4∙2-9∙1)+37∙(4∙1-2∙1)= -15
Минор для (4,1):

Найдем определитель для этого минора.
4,1 = 20∙(2∙9-9∙1)-11∙(4∙9-9∙1)+40∙(4∙1-2∙1)= -37
Определитель минора:
2 = 2∙(-160)-1∙(-221)+2∙(-15)-3∙(-37)

Заменим 3-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = 3∙(40∙2-37∙9)-10∙(11∙2-37∙1)+8∙(11∙9-40∙1)= -137
Минор для (2,1):

Найдем определитель для этого минора.
2,1 = 5∙(40∙2-37∙9)-10∙(20∙2-37∙1)+8∙(20∙9-40∙1)= -175
Минор для (3,1):

Найдем определитель для этого минора.
3,1 = 5∙(11∙2-37∙1)-3∙(20∙2-37∙1)+8∙(20∙1-11∙1)= -12
Минор для (4,1):

Найдем определитель для этого минора.
4,1 = 5∙(11∙9-40∙1)-3∙(20∙9-40∙1)+10∙(20∙1-11∙1)= -35
Определитель минора:
3 = 2∙(-137)-1∙(-175)+2∙(-12)-3∙(-35)

Заменим 4-ый столбец матрицы А на вектор результата В .

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):

Найдем определитель для этого минора.
1,1 = 3∙(9∙37-9∙40)-10∙(2∙37-9∙11)+8∙(2∙40-9∙11)= 17
Минор для (2,1):

Найдем определитель для этого минора.
2,1 = 5∙(9∙37-9∙40)-10∙(4∙37-9∙20)+8∙(4∙40-9∙20)= 25
Минор для (3,1):

Найдем определитель для этого минора.
3,1 = 5∙(2∙37-9∙11)-3∙(4∙37-9∙20)+8∙(4∙11-2∙20)= 3
Минор для (4,1):

Найдем определитель для этого минора.
4,1 = 5∙(2∙40-9∙11)-3∙(4∙40-9∙20)+10∙(4∙11-2∙20)= 5
Определитель минора:
4 = 2∙17-1∙25+2∙3-3∙5

Выпишем отдельно найденные переменные Х:



см. также Вычисление определителя разложением по столбцу и другие примеры.

загрузка...