Площадь грани пирамиды

Задание. По координатам пирамиды найти все площади граней.

Решение получаем с помощью калькулятора.

1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = -1-3; Y = 6-1; Z = 1-4
AB(-4;5;-3)
AC(-4;0;2)
AD(-3;3;-5)
BC(0;-5;5)
BD(1;-2;-2)
CD(1;3;-7)

2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:






3) Угол между ребрами
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:

где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2
Найдем угол между ребрами AB и AC

4) Площадь грани
Площадь грани можно найти по формуле:
Площадь грани пирамиды: формула

Найдем площадь грани ABC
Найдем угол между ребрами AB и AC:


Площадь грани ABC

Найдем площадь грани ABD
Найдем угол между ребрами AB и AD:


Площадь грани ABD

Найдем площадь грани ACD
Найдем угол между ребрами AC и AD:


Площадь грани ACD

Найдем площадь грани BCD
Найдем угол между ребрами BC и BD:


Площадь грани BCD

5) Объем пирамиды
Объем пирамиды, построенного на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:


Находим определитель матрицы
∆ = (-4) • (0 • (-5)-3 • 2)-(-4) • (5 • (-5)-3 • (-3))+(-3) • (5 • 2-0 • (-3)) = -70

7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB

Уравнение прямой AC

Уравнение прямой BC

Уравнение прямой BD

Уравнение прямой CD

8) Уравнение плоскости
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Уравнение плоскости ABC

(x-3)(5 • 2-0 • (-3)) - (y-1)((-4) • 2-(-4) • (-3)) + (z-4)((-4) • 0-(-4) • 5) = 10x + 20y + 20z + 130 = 0
Уравнение плоскости ABD

(x-3)(5 • (-5)-3 • (-3)) - (y-1)((-4) • (-5)-(-3) • (-3)) + (z-4)((-4) • 3-(-3) • 5) = -16x - 11y + 3z-47 = 0
Уравнение плоскости ACD

(x-3)(0 • (-5)-3 • 2) - (y-1)((-4) • (-5)-(-3) • 2) + (z-4)((-4) • 3-(-3) • 0) = -6x - 26y - 12z-92 = 0
Уравнение плоскости BCD

(x+1)((-5) • (-2)-(-2) • 5) - (y-6)(0 • (-2)-1 • 5) + (z-1)(0 • (-2)-1 • (-5)) = 20x + 5y + 5z + 15 = 0

9) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору N = (l,m,n), имеет вид:
l(x- x0) + m(y- y0) + n(z- z0) = 0
-4(x - (-1)) + 5(y - 1) + (-3)(z - 6) = 0
-4x + 5y -3z + 9 = 0

10) Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины A
Расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:

11) Уравнение высоты пирамиды через вершину A
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

12) Угол между прямой AB и плоскостью ABC
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле

13) Угол между плоскостью ABC и плоскостью ABD
Косинус угла между плоскостью A1x + B1y + C1 + D = 0 и плоскостью A2x + B2y + C2 + D = 0 равен углу между их нормальными векторами N1(A1, B1, C1) и N2(A2, B2, C2):

загрузка...