Приведение кривой второго порядка к каноническому виду

Уравнение второго порядка вида

определяет на плоскости кривую. Группа членов называется квадратичной формой, – линейной формой. Если в квадратичной форме содержатся только квадраты переменных, то такой ее вид называется каноническим, а векторы ортонормированного базиса, в котором квадратичная форма имеет канонический вид, называются главными осями квадратичной формы.
Матрица называется матрицей квадратичной формы. Здесь . Чтобы матрицу привести к диагональному виду, необходимо за базис взять собственные векторы этой матрицы, тогда , где λ1 и λ2 – собственные числа матрицы B.
В базисе из собственных векторов матрицы B квадратичная форма будет иметь канонический вид: .
Эта операция соответствует повороту осей координат. Затем производится сдвиг начала координат, избавляясь тем самым от линейной формы.
Канонический вид кривой второго порядка: , причем:
а) если λ1>0; λ2>0 – эллипс, в частности, при λ12 это окружность;
б) если λ1>0, λ2<0 (λ1<0, λ2>0) имеем гиперболу;
в) если λ1=0 либо λ2=0, то кривая является параболой и после поворота осей координат имеет вид (здесь λ2=0). Дополняя до полного квадрата, будем иметь: .

Пример. Дано уравнение кривой
в системе координат (0,i,j), где и .
1. Определить тип кривой.
2. Привести уравнение к каноническому виду и построить кривую в исходной системе координат.
3. Найти соответствующие преобразования координат.

Решение. Приводим квадратичную форму B = 3x2 + 10xy + 3y2 к главным осям, то есть к каноническому виду. Матрица этой квадратичной формы . Находим собственные числа и собственные векторы этой матрицы:

Характеристическое уравнение:
; λ1=-2, λ2=8. Вид квадратичной формы: .
Исходное уравнение определяет гиперболу.
Заметим, что вид квадратичной формы неоднозначен. Можно записать , однако тип кривой остался тот же – гипербола.
Находим главные оси квадратичной формы, то есть собственные векторы матрицы B. .
Собственный вектор, отвечающий числу λ=-2 при x1=1: .
В качестве единичного собственного вектора принимаем вектор , где – длина вектора .
Координаты второго собственного вектора, соответствующего второму собственному числу λ=8, находим из системы
.
; .
Итак, имеем новый ортонормированный базис .
По формулам (5) пункта 4.3.3. переходим к новому базису:
или

; . (*)

Вносим выражения x и y в исходное уравнение и, после преобразований, получаем: .
Выделяем полные квадраты: .
Проводим параллельный перенос осей координат в новое начало: , .
Если внести эти соотношения в (*) и разрешить эти равенства относительно x2 и y2, то получим: , . В системе координат данное уравнение имеет вид: .
Для построения кривой строим в старой системе координат новую: ось x2=0 задается в старой системе координат уравнением x-y-3=0, а ось y2=0 уравнением x+y-1=0. Начало новой системы координат 0*(2,-1) является точкой пересечения этих прямых.
Для упрощения восприятия разобьем процесс построения графика на 2 этапа:
1. Переход к системе координат с осями x2=0, y2=0, заданными в старой системе координат уравнениями x-y-3=0 и x+y-1=0 соответственно.

2. Построение в полученной системе координат графика функции.

Окончательный вариант графика выглядит следующим образом (см. как построить график):
Word:xml

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии 17x2 + 12xy + 8y2 - 20 = 0.
Решение.Пример 2:xml

Задание. Привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка, используя теорию квадратичных форм и определить её вид. Уравнение кривой второго порядка путем выделения полного квадрата привести к каноническому виду. Решение:xml

Пример 2:xml

Задание. Привести уравнение к каноническому виду: 16x2 - 9y2 -64x - 8y +199 = 0.
Решение.Скачать решение:xml

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет гиперболу, и найти координаты ее центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения асимптот и уравнения директрис. Изобразить гиперболу на чертеже, указав фокусы, асимптоты и директрисы.
Решение:Скачать решение:xml

Задание. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет эллипс, и найти координаты его центра С, полуоси, эксцентриситет, уравнения директрис. Изобразить эллипс на чертеже, указав оси симметрии, фокусы и директрисы.
Решение:Скачать решение:xml

загрузка...