Примеры решений на тему "Аналитическая геометрия"

Задание. Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Требуется:

  1. Записать векторы в системе орт и найти модули этих векторов.
  2. Найти угол между векторами.
  3. Найти проекцию вектора на вектор.
  4. Найти площадь грани ABC.
  5. Найти объем пирамиды ABCD.

Решение:xml
A1(1,8,2), A2(5,2,6), A3(0,-1,-2), A4(-2,3,-1):Пример №1
A1(1,8,2), A2(5,2,6), A3(0,-1,-2), A4(-2,3,-1):Пример №2
A1(5,2,1), A2(-3,9,3), A3(-1,3,5), A4(-1,-5,2):Пример №3
A1(-1,0,2), A2(-2,0,6), A3(-3,1,2), A4(-1,2,4):Пример №4

Задание. Найти острый угол между прямыми x + y -5 = 0 и x + 4y - 8 = 0.
Рекомендации к решению. Задача решается посредством сервиса Угол между двумя прямыми.
Ответ: 30.96o

Пример №1. Даны координаты точек А1(1;0;2), A2(2;1;1), А3(-1;2;0), A4(-2;-1;-1). Найти длину ребра А1А2. Составить уравнение ребра А1А4 и грани А1А2А3. Составить уравнение высоты опущенной из точки А4 на плоскость А1А2А3. Найти площадь треугольника А1A2A3. Найти объем треугольной пирамиды А1A2А3A4.
Решение.

Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Так, для вектора A1A2 они будут следующими:
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 2-1; Y = 1-0; Z = 1-2
A1A2(1;1;-1)
A1A3(-2;2;-2)
A1A4(-3;-1;-3)
A2A3(-3;1;-1)
A2A4(-4;-2;-2)
A3A4(-1;-3;-1)
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:



Площадь грани находим по формуле:

где

Найдем площадь грани A1A2A3
Для этого найдем угол между ребрами A1A2 и A1A3:


Тогда площадь грани A1A2A3 будет равна:

Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:


где определитель матрицы равен: ∆ = 1 • (2 • (-3)-(-1) • (-2))-(-2) • (1 • (-3)-(-1) • (-1))+(-3) • (1 • (-2)-2 • (-1)) = -16
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой A1A2 находим как:

Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Находим уравнение плоскости A1A2A3

(x-1)(1 • (-2)-2 • (-1)) - (y-0)(1 • (-2)-(-2) • (-1)) + (z-2)(1 • 2-(-2) • 1) = 4y + 4z-8 = 0
или y + z - 2 = 0
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

т.е. уравнение высоты равно:

A1(-1,0,2), A2(-2,0,6), A3(-3,1,2), A4(-1,2,4):Пример №5
A1(-1,0,2), A2(-2,0,6), A3(-3,1,2), A4(-1,2,4):Пример №6
A1(-1,0,2), A2(-2,0,6), A3(-3,1,2), A4(-1,2,4):Пример №7
A1(1,8,02), A2(5,2,6), A3(5,7,4), A4(4,10,9):Пример №8
A1(10,5,5), A2(8,6,4), A3(8,10,7), A4(5,6,8):Пример №9

Задание. По координатам вершин пирамиды А1,А2,А3,А4 найти: 1) длины ребер А1А2 и А1А3; 2) угол между ребрами А1А2 и А1А3; 3) площадь грани А1А2А3;4) объем пирамиды А1А2А3А4
A1(3;5;4,0,0), A2(8;7;4,0,0), A3(5;10;4,0,0), A4(4;7;9,0,0):Пример №10
A1(3,5,4), A2(8,7,4), A3(5,10,4), A4(4,7,9):Пример №11
A1(-3,4,0), A2(-3,0,0), A3(3,0,0), A4(0,0,0):Пример №12
A1(0,-1,2), A2(-1,-1,6), A3(-2,0,2), A4(0,1,4):Пример №13
A1(-1,1,2), A2(-2,1,2), A3(-3,2,-2), A4(-1,3,0):Пример №14
A1(-1,0,2), A2(-2,0,6), A3(-3,1,2), A4(-1,2,4):Пример №15
A1(-1,2,0), A2(-1,2,3), A3(-2,-1,-2), A4(0,-6,5):Пример №16
A1(-1,2,0), A2(-1,2,3), A3(-2,-1,-2), A4(0,-6,5):Пример №17
A1(-1,2,0), A2(-1,2,3), A3(-2,-1,-2), A4(0,-6,5):Пример №18
A1(-1,2,0), A2(-1,2,3), A3(-2,-1,-2), A4(0,-6,5):Пример №19
A1(-1,0,0), A2(0,0,0), A3(0,0,0), A4(0,0,0):Пример №20
A1(0,-1,2), A2(-1,-1,6), A3(-2,0,2), A4(0,1,4):Пример №21
A1(7,5,3), A2(9,4,4), A3(4,5,7), A4(7,9,6):Пример №22
A1(7,5,3), A2(9,4,4), A3(4,5,7), A4(7,9,6):Пример №23
A1(3,-1,0), A2(2,3,3), A3(-1,3,1), A4(4,-3,5):Пример №24
A1(0,2,-1), A2(-1,2,3), A3(-2,3,7), A4(0,4,1):Пример №25
A1(0,2,-1), A2(-1,2,3), A3(-2,3,7), A4(0,4,1):Пример №26
A1(0,2,-1), A2(-1,2,3), A3(-2,3,7), A4(0,4,1):Пример №27
A1(0,2,-1), A2(-1,2,3), A3(-2,3,7), A4(0,4,1):Пример №28
A1(-3,2,0), A2(-3,-6,0), A3(-1,2,0), A4(0,0,0):Пример №29
A1(-3,2,0), A2(-3,-6,0), A3(-1,2,0), A4(0,0,0):Пример №30
A1(1,2,1), A2(-1,6,1), A3(-1,3,7), A4(1,6,9):Пример №31
A1(4,2,2), A2(6,6,5), A3(4,7,8), A4(0,0,10):Пример №32
A1(-2,4,0), A2(2,1,0), A3(5,5,0), A4(0,0,0):Пример №33
A1(1,3,6), A2(2,2,1), A3(-1,0,1), A4(-4,6,-3):Пример №34
A1(1,3,6), A2(2,2,1), A3(-1,0,1), A4(-4,6,-3):Пример №35
A1(1,3,6), A2(2,2,1), A3(-1,0,1), A4(-4,6,-3):Пример №36
A1(2,1,0), A2(-2,4,1), A3(-3,-8,4), A4(0,0,0):Пример №37
A1(7,2,4), A2(7,-1,-2), A3(3,3,1), A4(-4,2,1):Пример №38
A1(1,3,6), A2(2,2,1), A3(-1,0,1), A4(-4,6,-3):Пример №39
A1(7,2,4), A2(7,-1,-2), A3(3,3,1), A4(-4,2,1):Пример №40
A1(4,-14,8), A2(2,-18,12), A3(12,-8,12), A4(0,0,0):Пример №
A1(-2,0,-4), A2(-1,7,1), A3(4,-8,4), A4(1,-4,6):Пример №41
A1(-2,0,-4), A2(-1,7,1), A3(4,-8,4), A4(1,-4,6):Пример №42
A1(-2,0,-4), A2(-1,7,1), A3(4,-8,4), A4(1,-4,6):Пример №43
A1(-2,0,-4), A2(-1,7,1), A3(4,-8,4), A4(1,-4,6):Пример №44
A1(1,2,0), A2(3,0,-3), A3(5,2,6), A4(8,4,-9):Пример №45
A1(-3,0,0), A2(0,-2,0), A3(0,0,1), A4(-2,-1,3):Пример №46
A1(-3,0,0), A2(0,-2,0), A3(0,0,1), A4(-2,-1,3):Пример №47
A1(1,-1,2), A2(2,1,1), A3(1,1,4), A4(20,20,20):Пример №48
A1(4,0,2), A2(-4,0,-2), A3(0,4,2), A4(4,2,0):Пример №49
A1(1,0,3), A2(-5,-2,1), A3(2,-4,5), A4(4,7,-5):Пример №50
A1(6,6,5), A2(4,9,5), A3(4,6,11), A4(6,9,3):Пример №51
A1(3,-2,8), A2(-1,3,2), A3(2,0,-1), A4(4,-2,3):Пример №52

Решение 1:xml
Решение 2:xml

Пример. В декартовой прямоугольной системе координат даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите длину ребра AB, косинус угла между векторами, уравнение ребра, уравнение грани, уравнение высоты.
Решение:xml

Пример. Даны вершины треугольника А(1, –1, -3), В(2, 0, -10), С(3, 0, -2).
а) Найти уравнение биссектрисы и высоты данного треугольника, проведенных из вершины A.
б) Найти уравнения всех его медиан и координаты точки их пересечения.
см. также Как найти периметр треугольника

загрузка...