Даны координаты пирамиды: A(1,3,6), B(2,2,1), C(-1,0,1), D(-4,6,-3)
1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 2-1; Y = 2-3; Z = 1-6
AB(1;-1;-5)
AC(-2;-3;-5)
AD(-5;3;-9)
BC(-3;-2;0)
BD(-6;4;-4)
CD(-3;6;-4)
2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

3) Угол между ребрами
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:

где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2
Найдем угол между ребрами AB и AD

4) Площадь грани
Площадь грани можно найти по формуле:

где

Найдем площадь грани ABC
Найдем угол между ребрами AB и AC:

Площадь грани ABC

5) Объем пирамиды
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:

Находим определитель матрицы
∆ = 1 • ((-3) • (-9)-3 • (-5))-(-2) • ((-1) • (-9)-3 • (-5))+(-5) • ((-1) • (-5)-(-3) • (-5)) = 140
7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB

8) Уравнение плоскости
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Уравнение плоскости ABC

(x-1)((-1) • (-5)-(-3) • (-5)) - (y-3)(1 • (-5)-(-2) • (-5)) + (z-6)(1 • (-3)-(-2) • (-1)) = -10x + 15y - 5z + 5 = 0
10) Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины D
Расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Аналитическая геометрия
Вместе с этой задачей решают также:
Метод Крамера
Метод обратной матрицы
Метод Гаусса