Даны координаты пирамиды: A1(7,5,3), A2(9,4,4), A3(4,5,7), A4(7,9,6)
1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора A1A2
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 9-7; Y = 4-5; Z = 4-3
A1A2(2;-1;1)
A1A3(-3;0;4)
A1A4(0;4;3)
A2A3(-5;1;3)
A2A4(-2;5;2)
A3A4(3;4;-1)
2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

3) Угол между ребрами
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:

где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2
Найдем угол между ребрами A1A2 и A1A4

4) Площадь грани
Площадь грани можно найти по формуле:

где

Найдем площадь грани A1A2A3
Найдем угол между ребрами A1A2 и A1A3:

Площадь грани A1A2A3

5) Объем пирамиды
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:

Находим определитель матрицы
∆ = 2 • (0 • 3-4 • 4)-(-3) • ((-1) • 3-4 • 1)+0 • ((-1) • 4-0 • 1) = -53
7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой A1A2

8) Уравнение плоскости
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Уравнение плоскости A1A2A3

(x-7)((-1) • 4-0 • 1) - (y-5)(2 • 4-(-3) • 1) + (z-3)(2 • 0-(-3) • (-1)) = -4x - 11y - 3z-92 = 0
10) Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины A4
Расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:

11) Уравнение высоты пирамиды через вершину A4
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Аналитическая геометрия
Вместе с этой задачей решают также:
Метод Крамера
Метод обратной матрицы
Метод Гаусса