Даны координаты пирамиды: A(-3,0,0), B(0,-2,0), C(0,0,1), D(-2,-1,3)
1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi; Z = zj - zi
здесь X,Y,Z координаты вектора; xi, yi, zi - координаты точки Аi; xj, yj, zj - координаты точки Аj;
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1; Z = z2 - z1
X = 0-(-3); Y = -2-0; Z = 0-0
AB(3;-2;0)
AC(3;0;1)
AD(1;-1;3)
BC(0;2;1)
BD(-2;1;3)
CD(-2;-1;2)
2) Модули векторов
Длина вектора a(X;Y;Z) выражается через его координаты формулой:

3) Угол между ребрами
Угол между векторами a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2) можно найти по формуле:

где a1a2 = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2
Найдем угол между ребрами AB и AC

4) Площадь грани
Площадь грани можно найти по формуле:

где

Найдем площадь грани ABC
Найдем угол между ребрами AB и AC:

Площадь грани ABC

Найдем площадь грани ABD
Найдем угол между ребрами AB и AD:

Площадь грани ABD

Найдем площадь грани ACD
Найдем угол между ребрами AC и AD:

Площадь грани ACD

Найдем площадь грани BCD
Найдем угол между ребрами BC и BD:

Площадь грани BCD

5) Объем пирамиды
Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:

Находим определитель матрицы
∆ = 3 • (0 • 3-(-1) • 1)-3 • ((-2) • 3-(-1) • 0)+1 • ((-2) • 1-0 • 0) = 19
6) Деление отрезка в данном отношении
Радиус-вектор r точки A, делящий отрезок AB в отношении AA:AB = m1:m2, определяется формулой:

Координаты точки А находятся по формулам:

7) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1; z1) и A2(x2; y2; z2), представляется уравнениями:

Уравнение прямой AB

Уравнение прямой AC

Уравнение прямой AD

Уравнение прямой BC

Уравнение прямой BD

Уравнение прямой CD

8) Уравнение плоскости
Если точки A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2), A3(x3; y3; z3) не лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость представляется уравнением:

Уравнение плоскости ABC

(x+3)((-2) • 1-0 • 0) - (y-0)(3 • 1-3 • 0) + (z-0)(3 • 0-3 • (-2)) = -2x - 3y + 6z + 6 = 0
Уравнение плоскости ABD

(x+3)((-2) • 3-(-1) • 0) - (y-0)(3 • 3-1 • 0) + (z-0)(3 • (-1)-1 • (-2)) = -6x - 9y - 1z + 18 = 0
Уравнение плоскости ACD

(x+3)(0 • 3-(-1) • 1) - (y-0)(3 • 3-1 • 1) + (z-0)(3 • (-1)-1 • 0) = x - 8y - 3z-3 = 0
Уравнение плоскости BCD

(x-0)(2 • 3-1 • 1) - (y+2)(0 • 3-(-2) • 1) + (z-0)(0 • 1-(-2) • 2) = 5x - 2y + 4z + 4 = 0
9) Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору
Уравнение плоскости, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) перпендикулярно вектору N = (l,m,n), имеет вид:
l(x- x0) + m(y- y0) + n(z- z0) = 0
3(x - 0) + (-2)(y - 0) + 0(z - 1) = 0
3x -2y  + 0z  + 0 = 0
10) Длина высоты пирамиды, проведенной из вершины A
Расстояние d от точки M1(x1;y1;z1) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 равно абсолютному значению величины:

11) Уравнение высоты пирамиды через вершину A
Прямая, проходящая через точку M0(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C) и, значит, представляется симметричными уравнениями:

12) Угол между прямой AB и плоскостью ABC
Синус угла между прямой с направляющими коэффициентами (l; m; n) и плоскостью с нормальным вектором N(A; B; C) можно найти по формуле

13) Угол между плоскостью ABC и плоскостью ABD
Косинус угла между плоскостью A1x + B1y + C1 + D = 0 и плоскостью A2x + B2y + C2 + D = 0 равен углу между их нормальными векторами N1(A1, B1, C1) и N2(A2, B2, C2):

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Аналитическая геометрия
Вместе с этой задачей решают также:
Метод Крамера
Метод обратной матрицы
Метод Гаусса