Даны координаты треугольника: A(1,1), B(7,4), C(4,5).
1) Координаты векторов
Координаты векторов находим по формуле:
X = xj - xi; Y = yj - yi
здесь X,Y координаты вектора; xi, yi - координаты точки Аi; xj, yj - координаты точки Аj
Например, для вектора AB
X = x2 - x1; Y = y2 - y1
X = 7-1 = 6; Y = 4-1 = 3
AB(6;3)
AC(3;4)
BC(-3;1)
2) Длина сторон треугольника
Длина вектора a(X;Y) выражается через его координаты формулой:

3) Угол между прямыми
Угол между векторами a1(X1;Y1), a2(X2;Y2) можно найти по формуле:

где a1a2 = X1X2 + Y1Y2
Найдем угол между сторонами AB и AC

γ = arccos(0.89) = 26.570
8) Уравнение прямой
Прямая, проходящая через точки A1(x1; y1) и A2(x2; y2), представляется уравнениями:

9) Длина высоты треугольника, проведенной из вершины A
Расстояние d от точки M1(x1;y1) до прямой Ax + By + С = 0 равно абсолютному значению величины:

Найдем расстояние между точкой A(1;1) и прямой BC (3y + x - 19 = 0)

9) Уравнение высоты через вершину C
Прямая, проходящая через точку N0(x0;y0) и перпендикулярная прямой Ax + By + C = 0 имеет направляющий вектор (A;B) и, значит, представляется уравнениями:

y = -2x + 13 или y +2x -13 = 0
Данное уравнение можно найти и другим способом. Для этого найдем угловой коэффициент k1 прямой AB.
Уравнение AB: y = 1/2x + 1/2, т.е. k1 = 1/2
Найдем угловой коэффициент k перпендикуляра из условия перпендикулярности двух прямых: k1*k = -1.
Подставляя вместо k1 угловой коэффициент данной прямой, получим :
1/2k = -1, откуда k = -2
Так как перпендикуляр проходит через точку C(4,5) и имеет k = -2,то будем искать его уравнение в виде: y-y0 = k(x-x0).
Подставляя x0 = 4, k = -2, y0 = 5 получим:
y-5 = -2(x-4)
или
y = -2x + 13 или y + 2x - 13 = 0
Найдем точку пересечения с прямой AB:
Имеем систему из двух уравнений:
2y -x - 1 = 0
y + 2x - 13 = 0
Из первого уравнения выражаем y и подставим во второе уравнение.
Получаем:
x = 5
y = 3

Решение было получено и оформлено с помощью сервиса:
Аналитическая геометрия
Вместе с этой задачей решают также:
Аналитическая геометрия
Метод Крамера
Метод обратной матрицы
Метод Гаусса
Copyright © Semestr.RU