Пример решения контрольной работы

Задание 1.
Записать уравнение прямой, проходящей точки и Найти значения параметров k и b для этой прямой.
Решение.
Уравнение прямой, проходящей через точки и имеет вид .
Значит или 4(х+1)=2(у-2)
У = 2х + 4, где k = 2; b = 4.

Задание 2.
Две стороны квадрата лежат на прямых 5х – 12у –65 = 0 и 5х – 12у + 26 = 0. Вычислить его площадь.
Решение.
Так как то прямые параллельны и они различны. Найдем длину стороны квадрата - это расстояние между параллельными прямыми. Возьмем точку первой прямой. Тогда расстояние от точки до второй прямой равно


Значит . Тогда

Задание 3.
Записать общее уравнение плоскости, проходящей через перпендикуляры, опущенные из точки на плоскости 4х + у –3z + 13 =0 и х –2у +z – 11 = 0.
Решение.
Запишем уравнение любой прямой, проходящей через точку P: .
Координаты ( направляющего вектора прямой, перпендикулярной плоскости, можно заменить координатами нормального вектора n = (4; 1; -3) плоскости 4х + у – 3z + 13 =0. Тогда уравнение прямой запишется в виде
Найдем проекцию точки P на данную плоскость, решив совместно уравнения
4х + у – 3z + 13 = 0,
Перепишем уравнение прямой в виде:
Подставляя эти выражения для x, y, z в уравнение плоскости найдем t.
4(4t – 3 ) + t + 2 – 3 (-3t + 5) + 13 = 0
16t –12 + t + 2 + 9t – 15 + 13 = 0
26t = 12, t =
Тогда


проекция точки P на плоскость 4x + y – 3z + 13 = 0.
Уравнение прямой, проходящей через точки P и .


Теперь найдем проекцию точки P на плоскость x- 2y + z – 11 = 0.


Уравнение прямой проходящей через точки P и .
(2)
Искомая плоскость проходит через прямые (1) и (2). Так как величины не пропорциональны величинам то прямые пересекаются при выполнении условия

Задание 4.
Найти длину отрезка прямой, параллельной вектору , между точками пересечения её с плоскостями 2x + y – z – 6 = 0 и 2x + y – z – 4 = 0.
Решение.
Плоскости параллельны, т.к.

от точки плоскости отложим вектор
Отрезки параллельных прямых, заключенных между параллельными плоскостями равны. Значит длина искомого отрезка равна длине вектора .

Ответ 5.

Задание 5.
Найти те значения m и n, при которых прямая пересекает прямые

Решение.
Приведем уравнения (1) и (2) к каноническому виду.

(1)
Найдем параллельный искомой прямой. Так как он должен быть перпендикулярен нормальным векторам.

заданных плоскостей, то за S можно принять векторное произведение векторов .

Таким образом в качестве точки через которую проходит искомая прямая, можно взять точку пересечения и с любой из координатных плоскостей.
Например, с плоскостью XOZ. Так как при этом то координаты определяются из системы уравнений заданных прямых, если в них положить y = 0.

Решая эту систему находим .

Прямые будут пересекаться, если


В нашем случае

15m - 12n + 34 * 6 = 0.
(2)





Теперь решим систему






Ответ: m = 48; n = 77.

Задание 6.
Дано, что прямая, пересекающая ось аппликат в точке параллельна плоскости отстоит от неё на расстоянии 7 и перпендикулярна оси координат. Найти абсциссу точки пересечения этой прямой с координатной плоскостью z = 0.
Решение.
Так как искомая прямая перпендикулярна оси Oу, то она находится в плоскости XOZ, и проходит через точки .
Так как она параллельна плоскости то расстояние между ними, равное 7, это расстояние от какой либо точки прямой до плоскости, которое вычисляется по формуле:

Имеем

Ответ: абсцисса точки пересечения прямой с плоскостью z = 0 21 или -28.

Задание 7.
Записать уравнение касательной к окружности в точке M(1, 2 ).
Решение.


принадлежит окружности. Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенного в точку касания. В качестве вектора нормали касательной можно взять вектор где С ( 2; -4)- центр окружности.
СМ = ( -1; 6)
X –6y + c = 0
1 – 12 +c = 0
c = 11
x – 6y + 11 = 0 -искомое уравнение касательной.

Задание 8.
Дана кривая

8.1 Доказать, что эта кривая - эллипс (решение проводится с помощью онлайн-калькулятора).
8.2 Найти координаты центра его симметрии.
8.3 Найти его большую и малую полуоси.
8.4 Записать уравнение фокальной оси.
8.5 Построить данную кривую.
Решение.
8.1

8.2 Центр его симметрии находится в точке ( 1; 3 ).
8.3 Большая полуось а = 5
Малая полуось в = 3
8.4 Уравнение фокальной оси у = 3.
8.5.

Задание 9.

Дана кривая
9.1. Доказать, что данная кривая - парабола.
9.2. Найти координаты её вершины.
9.3. Найти значение её параметра p.
9.4. Записать уравнение её оси симметрии.
9.5. Построить данную параболу.
Решение.

9.1.

- это Уравнение параболы, симметричной относительно оси .


9.2. Вершина параболы ( 5; 0)
9.3 Сравнивая уравнение параболы с каноническим уравнением параболы находим
2p = -2, откуда p = - 1.
9.4.Ось симметрии х = 5.

Задание 10.
10.Дана кривая
10.1.Доказать, что эта кривая - гипербола.
10.2.Найти координаты её центра симметрии.
10.3.Найти действительную и мнимую полуоси.
10.4.Записать общее уравнение фокальной оси.
10.5.Построить данную гиперболу.
Решение.
10.1.




10.2. Координаты её центра симметрии
10.3.Число 4 – действительная полуось.
Число 2 – мнимая полуось.

загрузка...