Поиск по сайту

Решение задач линейного программирования графическим методом online

Пример.

Задачу линейного программирования решить графическим способом. F = 3x1-4x2 → min.

02x1+5x2≥010(1)
07x1+2x2≥014(2)
x1+2x2≤017(3)
x1≥0(4)
x2≥0(5)

Решение.

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Рисунок 1 - Решение задач линейного программирования графическим методом

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.
Рисунок 2 - Решение задач линейного программирования графическим методом

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 03x1-4x2 → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 03x1-4x2 = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Рисунок 3 - Пример решения графическим методом

Равный масштаб

Рисунок 4 - Линейное программирование. Графический метод

Область допустимых решений представляет собой многоугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (3) и (5), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x1+2x2≤017
x1=0

Решив систему уравнений, получим: x1 = 0, x2 = 8.5
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 03*0 - 4*8.5 = -34