Целочисленное программирование. Графический метод

Пример.

Задачу линейного программирования решить графическим способом. F = 3x1+x2 → max.

4x1+11x2≤44(1)
x1≤5(2)
x1≥0(3)
x2≥0(4)
где x1, x1 - целые числа.

Решение.

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Рисунок 1 - Решение задач линейного программирования графическим методом

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.
Рисунок 2 - Решение задач линейного программирования графическим методом

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 3x1+x2 → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 3x1+x2 = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Рисунок 3 - Пример решения графическим методом

Равный масштаб

Рисунок 4 - Линейное программирование. Графический метод

Область допустимых решений представляет собой многоугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке D. Так как точка D получена в результате пересечения прямых (1) и (2), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
4x1+11x2≤44
x1≤5

Решив систему уравнений, получим: x1 = 5, x2 = 2.1818
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 3*5 + 1*2.1818 = 17.18

Решение получилось не целочисленным.
Множество допустимых решений задачи с отмеченными на нем целочисленными точками представлено на рис. 5.
Перемещение линии уровня целевой функции F(X) в направлении, задаваемом ее градиентом, показывает, что наибольшее значение F(X)=17 она примет в точке (5, 2).

Рисунок 5 - Целочисленное программирование. Графический метод
загрузка...