Целочисленное программирование. Графический метод

Пример.

Задачу линейного программирования решить графическим способом. F = 5x1+x2 → min.

3x1-2x2≤14(1)
2x1+3x2≥11(2)
-3x1+8x2≤8(3)
x1≥0(4)
x2≥0(5)
где x1, x1 - целые числа.

Решение.

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Рисунок 1 - Решение задач линейного программирования графическим методом

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.
Рисунок 2 - Решение задач линейного программирования графическим методом

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 5x1+x2 → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 5x1+x2 = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Рисунок 3 - Пример решения графическим методом

Равный масштаб

Рисунок 4 - Линейное программирование. Графический метод

Область допустимых решений представляет собой треугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (2) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
2x1+3x2≥11
-3x1+8x2≤8

Решив систему уравнений, получим: x1 = 2.56, x2 = 1.96
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 5*2.56 + 1*1.96 = 14.76

Решение получилось не целочисленным.
Множество допустимых решений задачи с отмеченными на нем целочисленными точками представлено на рис. 5.
Перемещение линии уровня целевой функции F(X) в направлении, задаваемом ее градиентом, показывает, что наибольшее значение F(X)=14.76 она примет в точке (2.56000000, 1.96000000).

Рисунок 5 - Целочисленное программирование. Графический метод
загрузка...