Целочисленное программирование. Графический метод

Пример.

Задачу линейного программирования решить графическим способом. F = -x1-5x2 → min.

14x1+9x2≤126(1)
x1+4x2≥4(2)
-5x1+2x2≤20(3)
x1≥0(4)
x2≥0(5)
где x1, x1 - целые числа.

Решение.

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Рисунок 1 - Решение задач линейного программирования графическим методом

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.
Рисунок 2 - Решение задач линейного программирования графическим методом

Рассмотрим целевую функцию задачи F = -x1-5x2 → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = -x1-5x2 = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Рисунок 3 - Пример решения графическим методом

Равный масштаб

Рисунок 4 - Линейное программирование. Графический метод

Область допустимых решений представляет собой многоугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке C. Так как точка C получена в результате пересечения прямых (1) и (3), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
14x1+9x2≤126
-5x1+2x2≤20

Решив систему уравнений, получим: x1 = 0.9863, x2 = 12.4658
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = -1*0.9863 - 5*12.4658 = -63.32

Решение получилось не целочисленным.
Множество допустимых решений задачи с отмеченными на нем целочисленными точками представлено на рис. 5.
Перемещение линии уровня целевой функции F(X) в направлении, задаваемом ее градиентом, показывает, что наибольшее значение F(X)=-63.31506777 она примет в точке (0.98630147, 12.46575326).

Рисунок 5 - Целочисленное программирование. Графический метод
загрузка...