Целочисленное программирование. Графический метод

Пример.

Задачу линейного программирования решить графическим способом. F = 4x1+2x2 → min.

x1-2x2≤4(1)
3x1+2x2≥6(2)
9x1+8x2≤72(3)
-x1+x2≤5(4)
x1≥0(5)
x2≥0(6)
где x1, x1 - целые числа.

Решение.

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Рисунок 1 - Решение задач линейного программирования графическим методом

или

Рисунок 1 - Решение задач линейного программирования графическим методом

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.
Рисунок 2 - Решение задач линейного программирования графическим методом

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 4x1+2x2 → min.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 4x1+2x2 = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует минимальное решение, поэтому двигаем прямую до первого касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Рисунок 3 - Пример решения графическим методом

Равный масштаб

Рисунок 4 - Линейное программирование. Графический метод

Область допустимых решений представляет собой многоугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке A. Так как точка A получена в результате пересечения прямых (2) и (6), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
3x1+2x2≥6
x1=0

Решив систему уравнений, получим: x1 = 0, x2 = 3
Откуда найдем минимальное значение целевой функции:
F(X) = 4*0 + 2*3 = 6

Решение получилось целочисленным.

загрузка...