Целочисленное программирование. Графический метод

Пример.

Задачу линейного программирования решить графическим способом. F = 3x1+6x2 → max.

x1+2x2≤9(1)
2x1+x2≤9(2)
x1-2x2≤0(3)
x1+x2≥2(4)
4x1-x2≥0(5)
x1≥0(6)
x2≥0(7)
где x1, x1 - целые числа.

Решение.

Построим область допустимых решений, т.е. решим графически систему неравенств. Для этого построим каждую прямую и определим полуплоскости, заданные неравенствами (полуплоскости обозначены штрихом).

Рисунок 1 - Решение задач линейного программирования графическим методом

или

Рисунок 1 - Решение задач линейного программирования графическим методом

Границы области допустимых решений

Пересечением полуплоскостей будет являться область, координаты точек которого удовлетворяют условию неравенствам системы ограничений задачи.
Обозначим границы области многоугольника решений.
Рисунок 2 - Решение задач линейного программирования графическим методом

Рассмотрим целевую функцию задачи F = 3x1+6x2 → max.
Построим прямую, отвечающую значению функции F = 0: F = 3x1+6x2 = 0. Будем двигать эту прямую параллельным образом. Поскольку нас интересует максимальное решение, поэтому двигаем прямую до последнего касания обозначенной области. На графике эта прямая обозначена пунктирной линией.

Рисунок 3 - Пример решения графическим методом

Равный масштаб

Рисунок 4 - Линейное программирование. Графический метод

Область допустимых решений представляет собой многоугольник.

Прямая F(x) = const пересекает область в точке B. Так как точка B получена в результате пересечения прямых (1) и (5), то ее координаты удовлетворяют уравнениям этих прямых:
x1+2x2≤9
4x1-x2≥0

Решив систему уравнений, получим: x1 = 1, x2 = 4
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 3*1 + 6*4 = 27
Поскольку функция цели F(x) параллельна прямой (1), то на отрезке BD функция F(x) будет принимает одно и тоже максимальное значение.
Для определения координат точки D решим систему двух линейных уравнений:
x1+2x2≤9
2x1+x2≤9

Решив систему уравнений, получим: x1 = 3, x2 = 3
Откуда найдем максимальное значение целевой функции:
F(X) = 3*3 + 6*3 = 27

Решение получилось целочисленным.

загрузка...